Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 5.djvu/501

Lorsque cette équation n’est que du premier ordre, il suffira donc de n’avoir égard dans l’intégrale qu’au terme qui contient la première puissance de l’arc $x,$ puisque la première équation de condition ne dépend que des quantités $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} \,;$ lorsque l’équation différentielle sera du second ordre, il faudra avoir égard de plus dans l’intégrale au terme multiplié par $x^{2},$ puisque la seconde équation de condition dépend aussi de la quantité $\mathrm {Z}$ et ainsi de suite.

5. Selon M. de Laplace (Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris, 1777, page 387), les équations de condition seraient simplement

${\begin{aligned}&{\frac {d\mathrm {X} }{da}}da+{\frac {d\mathrm {X} }{db}}db+\ldots =\mathrm {Y} dx,\\\\&{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dxda}}da+{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dxdb}}db+\ldots ={\frac {d\mathrm {Y} }{dx}},\\\\&{\frac {d^{3}\mathrm {X} }{dx^{2}da}}+{\frac {d^{3}\mathrm {X} }{dx^{2}db}}db+\ldots ={\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dx^{2}}}dx,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc sa méthode ne donne des résultats exacts que lorsque ces équations se trouvent avoir lieu en même temps que celles-ci

${\begin{aligned}&{\frac {d\mathrm {Y} }{da}}da+{\frac {d\mathrm {Y} }{db}}db+\ldots =2\mathrm {Z} dx,\\\\&\left({\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dxda}}da+{\frac {d\mathrm {Z} }{da}}\right)da+\left({\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dxdb}}+{\frac {d\mathrm {Z} }{db}}\right)db=\left(2{\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}+3\mathrm {V} \right)dx,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

6. La méthode que nous venons d’exposer peut s’appliquer également à plusieurs équations différentielles du même genre entre plusieurs variables $x,y,z,\ldots$ Les valeurs complètes de $y,z,\ldots$ fourniront alors chacune autant d’équations de condition entre les différentes constantes arbitraires $a,b,c,\ldots$ devenues variables, qu’il y aura d’unités dans l’exposant de la plus haute différence de chacune de ces variables dans les équations différentielles proposées. De sorte que le nombre des équations de condition égalera toujours celui des quantités $a,b,c,\ldots .$,