Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 5.djvu/500

on verra que pour les trouver il suffit : 1^o d’égaler la différentielle de l’intégrale, prise en faisant varier seulement les constantes arbitraires $a,b,\ldots ,$ à la différentielle de la même intégrale, prise en ne faisant varier que l’arc de cercle $x\,;$ 2^o de différentier successivement cette équation $n-1$ fois en faisant varier $x$ partout et regardant $a,b,\ldots$ comme constantes ; 3^o d’effacer partout les termes multipliés par l’arc de cercle $x$ et ses puissances.

Ainsi l’on aura d’abord

${\begin{aligned}&\left({\frac {d\mathrm {X} }{da}}+{\frac {d\mathrm {Y} }{da}}x+{\frac {d\mathrm {Z} }{da}}x^{2}+\ldots \right)da+\left({\frac {d\mathrm {X} }{db}}+{\frac {d\mathrm {Y} }{db}}x+{\frac {d\mathrm {Z} }{db}}x^{2}+\ldots \right)db+\ldots \\&\quad =\left(\mathrm {X} +2\mathrm {Z} x+3\mathrm {V} x^{2}+\ldots \right)dx,\end{aligned}}$

ensuite

${\begin{aligned}&\left[{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dxda}}+{\frac {d\mathrm {Y} }{da}}+\left({\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dxda}}+2{\frac {d\mathrm {Z} }{da}}\right)x+\ldots \right]da\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +\left[{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dxdb}}+{\frac {d\mathrm {Y} }{db}}+\left({\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dxdb}}+2{\frac {d\mathrm {Z} }{db}}\right)x+\ldots \right]db+\ldots \\&\qquad =\left[{\frac {d\mathrm {Y} }{dx}}+2\mathrm {Z} +\left(2{\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}+6\mathrm {V} \right)x+\ldots \right]ds,\\\\&\left({\frac {d^{3}\mathrm {X} }{dx^{2}da}}+2{\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dxda}}+2{\frac {d\mathrm {Z} }{da}}\right)da+\left({\frac {d^{3}\mathrm {X} }{dx^{2}db}}+2{\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dxdb}}+2{\frac {d\mathrm {Z} }{db}}\right)db+\ldots \\&\qquad =\left({\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dx^{2}}}+4{\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}+6\mathrm {V} \right)dx,\end{aligned}}$

et ainsi de suite jusqu’à la $n-1$^ième différentielle.

Effaçant donc partout les termes multipliés par $x,$ l’intégrale se réduira à $y=\mathrm {X} \,;$ et l’on aura, pour la détermination des $n$ quantités $a,b,c,\ldots ,$ les équations du premier ordre

${\begin{aligned}&{\frac {d\mathrm {X} }{da}}da+{\frac {d\mathrm {X} }{db}}db+\ldots =\mathrm {Y} dx,\\\\&\left({\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dxda}}+{\frac {d\mathrm {Y} }{da}}\right)da+\left({\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dxdb}}+{\frac {d\mathrm {Y} }{db}}\right)db+\ldots =\left({\frac {d\mathrm {Y} }{dx}}+2\mathrm {Z} \right)dx,\\\\&\left({\frac {d^{3}\mathrm {X} }{dx^{2}da}}+2{\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dxda}}+2{\frac {d\mathrm {Z} }{da}}\right)da+\left({\frac {d^{3}\mathrm {X} }{dx^{2}db}}+2{\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dxdb}}+2{\frac {d\mathrm {Z} }{db}}\right)db+\ldots \\&\qquad =\left({\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dx^{2}}}+4{\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}+6\mathrm {V} \right)dx,\end{aligned}}$

et ainsi de suite, le nombre de ces équations étant égal à l’exposant de l’ordre de l’équation différentielle.