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quinoxe du printemps ne sera plus exactement égale à $t-\psi ,$ mais elle sera $t-\psi +r,$ $r$ étant une quantité dépendante de ces inégalités, et par conséquenttrès-petite, puisque jusqu’ici les observations n’ont pu la faire connaître. Dans ce cas la valeur de $\varphi +\psi$ ou de $\theta$ deviendra $180^{\circ }+t+r.$

40. De cette manière donc le mouvement de la Lune autour de son centre sera déterminé par les trois variables très-petites $r,s,u,$ de même que celui de son centre autour de la Terre l’est par les trois variables $x,y,z,$ aussi fort petites. Mais les trois premières sont beaucoup plus petites que ces dernières, et l’on pourra les regarder comme des quantités très-petites du premier ordre, vis-à-vis desquelles il sera permis de négliger celles des ordres suivants ; cependant il faudra tenir compte des quantités du second ordre dans les expressions de $\mathrm {T}$ et de $\mathrm {V} ,$ parce que celles de ${\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta x}},{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta x}},\ldots$ se trouveront rabaissées au premier.

41. Nous avons déjà donné dans la Section précédente (27) les valeurs exactes des quantités $\xi ',\xi '',\ldots$ en fonctions de $\theta ,s,u\,;$ ainsi il ne s’agira que d’y substituer pour $\theta$ sa valeur $180^{\circ }+t+r,$ et par conséquent pour $\sin \theta$

$-\sin(t+r)\quad {\text{ou}}\quad -\sin t\cos r-\cos t\sin r,$

et pour $\cos \theta$

$-\cos(t+r)\quad {\text{ou}}\quad -\cos t\cos r+\sin t\sin r,$

et de négliger les termes où les quantités $r,s,u$ formeraient ensemble des produits de plus de deux dimensions, en mettant pour cet effet à la place de $\sin r$ et $\cos r$ leurs valeurs approchées $r$ et $1-{\frac {r^{2}}{2}}.$

Nous donnerons d’abord les expressions des valeurs dont il s’agit en y conservant les $\sin r$ et $\cos r,$ parce que nous pourrons avoir occasion d’en faire usage sous cette forme ; on aura ainsi, en négligeant les dimensions de $s$ et $u$ au-dessus de la seconde,

${\begin{aligned}\xi '\ \ =&-\left[\left(1-2s^{2}\right)\cos r+2su\sin r\right]\cos t+\left[\left(1-2s^{2}\right)\sin r-2su\cos r\right]\sin t,\\\xi ''\ =&\left[\left(1-2u^{2}\right)\cos r-2su\sin r\right]\sin t+\left[\left(1-2u^{2}\right)\sin r+2su\cos r\right]\cos t,\\\xi '''=&-2(u\cos r+s\sin r)\sin t-2(u\sin r-s\cos r)\cos t\,;\end{aligned}}$