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$b,c,\ldots$ variables, on peut satisfaire à ces conditions ; et il ne s’agira que de faire en sorte que la différentielle de la valeur de $y$, en y faisant tout varier, soit égale à la valeur de ${\frac {dy}{dx}}dx,$ que la différentielle de la valeur de ${\frac {dy}{dx}},$ en faisant tout varier, soit égale à la valeur de ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}dx,$ et ainsi de suite jusqu’à la différentielle de ${\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}},$ qui devra être égale à la valeur de ${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}dx\,;$ ce qui donnera $n$ équations de condition, qui serviront par conséquent à déterminer les $n$ arbitraires $a,b,c,\ldots$ devenues variables. Alors $y=\mathrm {X}$ sera également l’intégrale de l’équation différentielle proposée.

3. Les équations de condition seront donc

${\begin{aligned}dy=&{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}dx+{\frac {d\mathrm {X} }{da}}da+{\frac {d\mathrm {X} }{db}}db+\ldots \\=&\left({\frac {d\mathrm {X} }{dx}}+\mathrm {Y} \right)dx,\\\\d{\frac {y}{x}}=&{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}dx+{\frac {d\mathrm {Y} }{dx}}dx+{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dxda}}da+{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dxdb}}db+\ldots +{\frac {d\mathrm {Y} }{da}}da+{\frac {d\mathrm {Y} }{db}}db+\ldots \\=&\left({\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}+2{\frac {d\mathrm {Y} }{dx}}+2\mathrm {Z} \right)dx,\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Effaçant les termes qui se détruisent dans ces équations, elles deviennent

${\begin{aligned}&{\frac {d\mathrm {X} }{da}}da+{\frac {d\mathrm {X} }{db}}db+\ldots =\mathrm {Y} dx,\\&\left({\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dxda}}+{\frac {d\mathrm {Y} }{da}}\right)da+\left({\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dxdb}}+{\frac {d\mathrm {Y} }{db}}\right)db+\ldots =\left({\frac {d\mathrm {Y} }{dx}}+2\mathrm {Z} \right)dx,\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

4. En considérant la forme des équations précédentes et leur dérivation de l’intégrale

$y=\mathrm {X} +\mathrm {Y} x+\mathrm {Z} x^{2}+\mathrm {V} x^{3}+\ldots ,$