Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 5.djvu/498

une forme algébrique, soit d’ailleurs que cette intégrale soit rigoureuse, ou seulement approchée, pourvu que dans ce dernier cas elle satisfasse à l’équation différentielle, sans qu’il soit nécessaire de réduire en série ses fonctions transcendantes.

Différentiant successivement $n$ fois cette intégrale, on aura

${\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}\ \,=&\left({\frac {d\mathrm {X} }{dx}}+\mathrm {Y} \right)\left({\frac {d\mathrm {Y} }{dx}}+2\mathrm {Z} \right)x+\left({\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}+3\mathrm {V} \right)x^{2}+\ldots ,\\{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=&\left({\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}+2{\frac {d\mathrm {Y} }{dx}}+2\mathrm {Z} \right)+\left({\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dx^{2}}}+4{\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}+6\mathrm {V} \right)x+\ldots .\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Et ces valeurs de $y,{\frac {dy}{dx}},\ldots ,{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}$ satisferont à l’équation différentielle, quelles que soient d’ailleurs celles des constantes arbitraires $a,b,c,\ldots$

2. Or, comme cette équation ne contient point $x$ sous une forme algébrique, il faudra que dans la substitution des valeurs précédentes, les termes qui se trouveront multipliés par les différentes puissances de $x$ disparaissent d’eux-mêmes ; donc aussi les premiers termes de ces valeurs, lesquels ne sont point multipliés par $x$ et ne contiennent point $x$ sous une forme algébrique, devront satisfaire seuls à la même équation.

Donc elle sera satisfaite par ces valeurs

${\begin{aligned}y=&\mathrm {X} \\{\frac {dy}{dx}}=&{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}+\mathrm {Y} ,\\{\frac {d^{2}y}{d^{2}x}}=&{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{d^{2}x}}+2{\frac {d\mathrm {Y} }{dx}}+2\mathrm {Z} ,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Et comme les quantités $a,b,c,\ldots$ qui entrent dans ces valeurs demeurent indéterminées, elles pourront y être supposées constantes ou variables à volonté. En les supposant constantes, les valeurs dont il s’agit ne peuvent subsister ensemble, puisque celle de ${\frac {dy}{dx}}$ n’est point la différentielle de celle de $y$, et ainsi des autres ; mais en rendant les mêmes quantités $a,$