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la Lune autour de la Terre ; les deux premières $x',y'$ seront prises dans le plan de l’écliptique, l’axe des $x'$ étant dirigé vers le premier point d’Aries, et l’axe des $y'$ vers le point qui répond à $90$ degrés de longitude ; et l’axe de la troisième coordonnée $z'$ sera perpendiculaire à l’écliptique et dirigé vers son pôle boréal.

Comme la latitude de la Lune est toujours assez petite, il est clair que la variable $z'$ sera aussi très-petite ; mais il n’en est pas de même des deux autres variables $x',y'\,;$ cependant si l’on considère que le mouvement de la Lune autour de la Terre est à peu près circulaire et uniforme, on verra qu’en introduisant à la place de ces coordonnées le rayon vecteur $\rho$ de l’orbite projetée sur l’écliptique et l’angle $\sigma$ de la longitude vraie, on aura

$x'=\rho \cos \sigma ,\quad y'=\rho \sin \sigma ,$

expressions dans lesquelles $\rho$ sera presque constant et $\sigma$ à peu près proportionnel au temps.

Supposons pour plus de simplicité que la distance moyenne de la Lune à la Terre soit représentée par l’unité, et que le temps $t$ soit représenté par l’angle du mouvement moyen, c’est-à-dire par la longitude moyenne de la Lune ; on aura

$\rho =1+\rho ',\quad \sigma =t+\sigma ',$

$\rho '$ et $\sigma '$ étant des quantités fort petites.

Mais au lieu de ces substitutions il vaudra mieux employer celles que nous avons indiquées dans le n^o 20, et qui consistent à faire

$\rho \sin(\sigma -t)=\mathrm {Y} ,\quad \rho \cos(\sigma -t)=\mathrm {X} ,$

où $\mathrm {Y}$ est, comme on voit, une quantité fort petite et $\mathrm {X}$ une quantité peu différente de l’unité. De cette manière on aura

${\begin{aligned}x'=&\rho \cos \sigma =\mathrm {X} \cos t-\mathrm {Y} \sin t,\\y'=&\rho \,\sin \sigma =\mathrm {Y} \cos t+\mathrm {X} \sin t,\end{aligned}}$

et de là on tirera

$dx'^{2}+dy'^{2}=(d\mathrm {Y} +\mathrm {X} dt)^{2}+(d\mathrm {X} -\mathrm {Y} dt)^{2}.$