Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 5.djvu/45

six variables, dont trois déterminent la position d’un point quelconque donné du corps (point que nous appelons en général le centre du corps) et dont les trois autres déterminent la position même du corps autour de son centre ; et nous avons montré que chacune de ces variables fournit pour le mouvement du corps (11) une équation de la forme

$d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\varphi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \varphi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \varphi }}=0,$

$\varphi$ étant une de ces six variables, et $\mathrm {T,V}$ des fonctions de ces mêmes variables ainsi tout se réduit à déterminer ces fonctions.

33. La fonction $\mathrm {T}$ ne dépend que des forces accélératrices qui proviennent de l’inertie du corps, et la fonction $\mathrm {V}$ dépend uniquement des forces accélératrices extérieures qui sont supposées agir sur le corps.

En nommant $t$ le temps dont l’élément est supposé constant, $x',y',z'$ les trois coordonnées rectangles du centre du corps, qu’on suppose être son centre de gravité (ces coordonnées étant rapportées à des axes fixes dans l’espace), $\xi ,\eta ,\zeta$ les coordonnées rectangles de chaque particule $dm$ du corps par rapport à trois axes passant par son centre et parallèles aux mêmes axes fixes, $p,q,\ldots$ les distances rectilignes de la particule $dm$ au centre des forces ${\frac {f}{p^{2}}},{\frac {g}{q^{2}}},\ldots ,$ on a trouvé, en général, (13, 19)

${\begin{aligned}\mathrm {T} =&{\frac {dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}}{2dt^{2}}}m+{\frac {\mathbf {S} \left(d\xi ^{2}+d\eta ^{2}+d\zeta ^{2}\right)dm}{2dt^{2}}},\\\mathrm {V} =&-f\mathbf {S} {\frac {dm}{p}}-g\mathbf {S} {\frac {dm}{q}}-\ldots ,\end{aligned}}$

la caractéristique $\mathbf {S}$ dénotant des intégrales totales et relatives à la masse entière du corps.

Examinons successivement les différents termes de ces formules et voyons ce qu’ils deviennent par rapport à la Lune.

34. Nous regarderons la Terre comme en repos, et nous prendrons $x',y',z'$ pour les coordonnées de l’orbite décrite par le centre de gravité de