Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 5.djvu/440

et de là, par les formules du n^o 2 de la Section précédente,

${\begin{aligned}&r''[r,r'']\,\ =z\left[\left(1+z^{2}\right)(0)-z(1)\right],\\&r''[r,r'']_{1}=z[4z(0)-\left(1+z^{2}\right)(1)],\\&r''[r,r'']_{2}=z\left[{\frac {2}{3}}z(1)-{\frac {1}{3}}\left(1+z^{2}\right)(2)\right],\\&r''[r,r'']_{3}=z\left[{\frac {2}{5}}z(2)-{\frac {1}{5}}\left(1+z^{2}\right)(3)\right],\\&r''[r,r'']_{4}=z\left[{\frac {2}{7}}z(2)-{\frac {1}{7}}\left(1+z^{2}\right)(4)\right],\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&2r''{\frac {d[r,r'']}{dr''}}\,\ =-r''[r,r'']\ \ +z\left(1-z^{2}\right)(0),\\&2r''{\frac {d[r,r'']_{1}}{dr''}}=-r''[r,r'']_{1}+z\left(1-z^{2}\right)(1),\\&2r''{\frac {d[r,r'']_{2}}{dr''}}=-r''[r,r'']_{2}+z\left(1-z^{2}\right)(2),\\&2r''{\frac {d[r,r'']_{3}}{dr''}}=-r''[r,r'']_{3}+z\left(1-z^{2}\right)(3),\\&2r''{\frac {d[r,r'']_{4}}{dr''}}=-r''[r,r'']_{4}+z\left(1-z^{2}\right)(4),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

Ainsi il n’y aura qu’à calculer ces différentes valeurs et les substituer ensuite dans la formule du numéro précedent.

3. On a d’abord, par l’endroit cité de la Théorie des variations séculaires,

$z=0,159715,\quad \mathrm {M} =1,006387,\quad \mathrm {N} =0,0709602\,;$

et ces valeurs donnent

${\begin{alignedat}{2}(0)=&1{,}059765\qquad \qquad &\log .\quad &0{,}0252095,\\(1)=&0{,}502944&&9{,}7015197,\\(2)=&0{,}100085&&9{,}0003680,\\(3)=&0{,}018603&&8{,}2695830,\\(4)=&0{,}003218&&7{,}5075860,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots \ldots \,;\end{alignedat}}$