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28. Substituant ensuite ces valeurs dans les expressions de $d\mathrm {P} ,d\mathrm {Q} ,d\mathrm {R}$ du n^o 21, on aura, après les réductions, celles-ci

${\begin{aligned}d\mathrm {R} =&{\frac {\left(1-s^{2}-u^{2}\right)d\theta -2(sdu-uds)}{1+s^{2}+u^{2}}},\\d\mathrm {Q} =&{\frac {2\left(ud\theta -ds\right)}{1+s^{2}+u^{2}}},\\d\mathrm {P} =&{\frac {2\left(sd\theta +du\right)}{1+s^{2}+u^{2}}},\end{aligned}}$

lesquelles ne contiennent, comme on voit, ni sinus ni cosinus d’angles, mais seulement les variables finies $s,u,$ avec leurs différentielles premières $ds,du,$ et la différence $d\theta$ de l’angle $\theta .$

29. Il ne restera plus qu’à faire les mêmes substitutions dans-la quantité V, laquelle dépend des forces particulières qui agissent sur le corps (13) ; mais ce calcul n’ayant par lui-même aucune difficulté, nous remettrons à la Section suivante à le développer relativement à la Lune, en tant qu’elle est attirée par la Terre et par le Soleil.

30. Mais avant de terminer celle-ci, nous croyons devoir faire remarquer que l’axe autour duquel nous avons considéré la rotation du corps (22), et qui est fixe dans l’intérieur du corps, mais mobile dans l’espace, n’est pas le vrai axe autour duquel le corps tourne à chaque instant et qu’on peut nommer axe spontané de rotation. Celui-ci est mobile tant à l’égard du corps que dans l’espace, et sa position dans le corps dépend des trois quantités $d\mathrm {P} ,d\mathrm {Q} ,d\mathrm {R} .$ En effet la formule

$d\xi ^{2}+d\eta ^{2}+d\zeta ^{2}=(cd\mathrm {Q} -bd\mathrm {R} )^{2}+(ad\mathrm {R} -cd\mathrm {P} )^{2}+(bd\mathrm {P} -ad\mathrm {Q} )^{2}$

du n^o 21 fait voir que si l’on prend les coordonnées $a,b,c$ proportionnelles respectivement à $d\mathrm {P} ,d\mathrm {Q} ,d\mathrm {R} ,$ la quantité

$d\xi ^{2}+d\eta ^{2}+d\zeta ^{2}$

devient nulle pour tous les points qui répondent à ces coordonnées ; de sorte qu’il y a par rapport au centre du corps une suite de points en