3. Dans le même endroit, nous avons fait dépendre ces valeurs de celles des fonctions 
et 
résultantes du développement de la quantité
![{\displaystyle \left(r^{2}-2rr'\cos u+r'^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04fd463d7f08baa7b12d788cff341662d4942507)
fonctions qui sont plus faciles à calculer, et pour lesquelles nous avons donné dans le no 48 du même Ouvrage des séries très-convergentes ; nous en userons de même ici, d’autant plus que nous avons aussi déjà donné dans la seconde Partie de la même Théorie les valeurs numériques de ces séries pour toutes les Planètes principales ; et même, au lieu de faire dépendre les fonctions ![{\displaystyle [r,r'],[r,r']_{1},[r,r']_{2},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a5e9e28622b6d99245dc5dfb77a158b07e10313)
et leurs différences les unes des autres, il sera plus simple de les faire dépendre simplement et immédiatement des fonctions correspondantes 
Pour cela on trouvera d’abord, en faisant dans les formules citées 
et changeant 
en 
On trouvera ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}&[r,r']\ =\left(r^{2}+r'^{2}\right)(r,r')-rr'(r,r')_{1},\\&[r,r']_{1}={\frac {rr'}{2}}\left[2(r,r')-(r,r')_{2}\right]=4rr'(r,r')-\left(r^{2}+r'^{2}\right)(r,r')_{1},\\&[r,r']_{2}={\frac {rr'}{4}}\left[(r,r')_{1}-(r,r')_{3}\right]={\frac {2}{3}}rr'(r,r')_{1}-{\frac {1}{3}}\left(r^{2}+r'^{2}\right)(r,r')_{2},\\&[r,r']_{3}={\frac {rr'}{6}}\left[(r,r')_{2}-(r,r')_{4}\right]={\frac {2}{5}}rr'(r,r')_{2}-{\frac {1}{5}}\left(r^{2}+r'^{2}\right)(r,r')_{3},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9552de89a201d83c771939e15c37eef556c9e5e3)
