dans laquelle
et où ![{\displaystyle [r,r']_{1},[r,r']_{2},[r,r']_{3},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18b57c74fcf9518a87562a18d4dcc6a107e3b75d)
sont les coefficients de 
dans la série résultante du développement de la fonction irrationnelle
Cette formule exprime la correction à faire à la longitude de Saturne calculée dans son orbite elliptique. Il y en a une pareille pour la correction du rayon vecteur, mais que nous omettons comme inutile pour les usages astronomiques, ainsi que nous l’avons remarqué plus haut.
2. Pour pouvoir évaluer la formule précédente, il faudra donc commencer par déterminer les valeurs des fonctions ![{\displaystyle [r,r]_{1},[r,r']_{2},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/920f27f079f1745486a17a14d3856b25e9aab2b6)
et de leurs différences premières relativement à 
c’est à quoi on peut employer les formules données dans le no 45 de la première Partie de la Théorie des variations séculaires.
En faisant dans ces formules 
il est visible que les coefficients 
deviennent ![{\displaystyle [r,r'],[r,r']_{1},[r,r']_{2},\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25750e32b708833b0903a395b69c7ef720c48ea9)
de sorte qu’on aura d’abord
![{\displaystyle [r,r']_{2}={\frac {2}{3}}\left({\frac {r}{r'}}+{\frac {r'}{r}}\right)[r,r']_{1}-{\frac {2}{3}}[r,r'],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1039c61d07fb9efd02327f1371269a2bbd142ac)
et l’on trouvera de même
![{\displaystyle {\begin{aligned}&[r,r']_{3}={\frac {4}{5}}\left({\frac {r}{r'}}+{\frac {r'}{r}}\right)[r,r']_{2}-{\frac {3}{5}}[r,r']_{1},\\&[r,r']_{4}={\frac {6}{7}}\left({\frac {r}{r'}}+{\frac {r'}{r}}\right)[r,r']_{3}-{\frac {5}{7}}[r,r']_{2},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d8d2c076ac72874c7ab06aa437d08e25e55efcc)
d’où, en faisant varier 
on tirera les valeurs des différences de ![{\displaystyle [r,r']_{2},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/758619b025ac12be414e88ac6f21ead2a1444c9d)
par conséquent il suffira de connaître les valeurs des deux premières fonctions ![{\displaystyle [r,r'],[r,r']_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e734b9425bc122848b81572a814b01b09ff06ea1)
et celles de leurs différences, pour avoir les valeurs de toutes les autres à l’infini.
