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section troisième.

variation séculaire du mouvement moyen de jupiter produite par l’action de saturne.

27. Calculons de la même manière l’altération du mouvement de Jupiter due à Saturne. Suivant les dénominations établies dans la Section précédente, il faudra affecter d’un trait les lettres de l’équation différentielle qui n’en ont aucun, et réciproquement effacer le trait aux autres ; de sorte que pour l’altération $\Sigma '$ du mouvement moyen de Jupiter, on aura cette équation

${\frac {d\Sigma '}{dp'}}=(0)+(1)\left(x'^{2}+y'^{2}\right)+(2)\left(x^{2}+y^{2}\right)+(3)(xx'+yy')$

$+(4)\left[(s-s')^{2}+(u-u')^{2}\right],$

dont les coefficients $(0),(1),\ldots$ seront exprimés de la même manière que dans le n^o 22, mais en y changeant $\mathrm {T} '$ en $\mathrm {T} ,$ $r$ en $r'$ et $r'$ en $r.$ Or, en faisant toujours $z={\frac {r'}{r}}$ et observant que les valeurs des quantités $(r,r'),$$(r,r')_{1}$ ne changent point en y changeant $r$ en $r',$ puisque l’expression dont le développement engendre ces quantités demeure la même par les changements dont il s’agit, on trouvera les expressions suivantes en $z,\mathrm {M,N}$

${\begin{aligned}(0)=&\mathrm {T} {\frac {2z^{3}\mathrm {M} -6z^{2}\mathrm {N} }{\left(1-z^{2}\right)^{2}}},\\(1)=&\mathrm {T} {\frac {-6z^{3}\mathrm {M} +3\left(z^{2}-3z^{4}\right)\mathrm {N} }{4\left(1-z^{2}\right)^{3}}},\\(2)=&-\mathrm {T} {\frac {3z^{3}\mathrm {M} +3z^{2}\mathrm {N} }{2\left(1-z^{2}\right)^{3}}},\\(3)=&\mathrm {T} {\frac {3\left(5z^{2}-z^{4}\right)\mathrm {M} -6\left(5z-6z^{3}-z^{5}\right)\mathrm {N} }{4\left(1-z^{2}\right)^{3}}},\\(4)=&\mathrm {T} {\frac {3z^{3}\mathrm {M} +3z^{4}\mathrm {N} }{2\left(1-z^{2}\right)^{3}}}.\end{aligned}}$

Et ces formules, en y changeant les traits des lettres $\mathrm {T} ,r,\ldots ,$ serviront aussi pour une autre Planète quelconque, en tant qu’elle sera troublée par une Planète supérieure.