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section seconde.

variation séculaire du mouvement moyen de saturne produite par l’action de jupiter.

23. Nous supposerons ici, comme nous l’avons fait dans la Théorie générale des variations séculaires, que les lettres sans trait se rapportent à Saturne, qu’avec un trait elles se rapportent à Jupiter, et ainsi de suite ; de cette manière $\mathrm {T}$ sera la masse de Saturne, $\mathrm {T} '$ celle de Jupiter, ces masses étant exprimées en parties de celle du Soleil ; il en sera de même des distances moyennes $r,r'$ et des mouvements moyens $p,p'.$

Ainsi l’altération $\Sigma$ du mouvement moyen de Saturne due à l’action de Jupiter sera déterminée par l’équation différentielle

${\frac {d\Sigma }{dp}}=(0)+(1)\left(x^{2}+y^{2}\right)+(2)\left(x'^{2}+y'^{2}\right)+(3)(xx'+yy')$

$+(4)\left[(s-s')^{2}+(u-u')^{2}\right],$

dont les coefficients seront exprimés par les quantités $z={\frac {r'}{r}},\mathrm {M,N} ,$ de la manière suivante

${\begin{aligned}(0)=&\mathrm {T} '{\frac {2\mathrm {M} -6z\mathrm {N} }{\left(1-z^{2}\right)^{2}}},\\(1)=&\mathrm {T} '{\frac {6z^{2}\mathrm {M} +3\left(3z-z^{3}\right)\mathrm {N} }{4\left(1-z^{2}\right)^{3}}},\\(2)=&\mathrm {T} '{\frac {3z^{2}\mathrm {M} +3z^{3}\mathrm {N} }{2\left(1-z^{2}\right)^{3}}},\\(3)=&\mathrm {T} '{\frac {3\left(z-5z^{3}\right)\mathrm {M} -6\left(1+6z^{2}-5z^{4}\right)\mathrm {N} }{4\left(1-z^{2}\right)^{3}}},\\(4)=&-\mathrm {T} '{\frac {3z^{2}\mathrm {M} +3z\mathrm {N} }{2\left(1-z^{2}\right)^{3}}}.\end{aligned}}$

Ces formules, en y changeant les traits des lettres $\mathrm {T} ,r,\ldots ,$ serviront aussi pour toute autre Planète en tant qu’elle sera troublée par une Planète inférieure, la quantité $z$ devant toujours être une fraction moindre que l’unité pour l’exactitude des expressions de $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N} .$