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22. On pourra donc exprimer tous les coefficients $(0),\ (1),\ (2),\ (3),$ $(4)$ par les seules quantités $(r,r'),(r,r')_{1}\,;$ et l’on aura ainsi

${\begin{aligned}(0)=&\mathrm {T} '\left[2r^{3}(r,r')-r^{2}r'(r,r')_{1}\right],\\(1)=&\mathrm {T} '{\frac {12r^{3}r'^{2}(r,r')+\left(3r^{4}r'-r^{2}r'^{3}\right)(r,r')_{1}}{8\left(r^{2}-r'^{2}\right)}}\\(2)=&\mathrm {T} '{\frac {6r^{3}r'^{2}(r,r')+r^{2}r'^{3}(r,r')_{1}}{4\left(r^{2}-r'^{2}\right)}},\\(3)=&\mathrm {T} '{\frac {\left(3r^{4}r'-15r^{2}r'^{3}\right)(r,r')-\left(r^{5}+6r^{3}r'^{2}-5rr'^{4}\right)(r,r')_{1}}{4\left(r^{2}-r'^{2}\right)}},\\(4)=&-\mathrm {T} '{\frac {6r^{3}r'^{2}(r,r')+r^{4}r'(r,r')_{1}}{4\left(r^{2}-r'^{2}\right)}}.\end{aligned}}$

Nous avons déjà donné, dans la Théorie des variations séculaires (n^o 48, première Partie), la manière de calculer les valeurs des quantités $(r,r'),$ $(r,r')_{1}\,;$ et nous y avons trouvé des expressions de cette forme

$(r,r')={\frac {\mathrm {M} }{r^{3}\left(1-z^{2}\right)^{2}}},\quad (r,r')_{1}={\frac {6\mathrm {N} }{r^{3}\left(1-z^{2}\right)^{2}}},$

dans lesquelles $z={\frac {r'}{r}},$ $r'$ étant supposée la plus petite des deux quantités $r,r',$ et $\mathrm {M,N}$ représentent les séries

$1+\alpha ^{2}z^{2}+\ldots ,\quad \alpha z-\alpha \beta z^{3}-\ldots ,$

comme dans le n^o 3 de la seconde Partie de la même Théorie.

Nous avons de plus donné dans le même endroit les valeurs numériques de $z,\mathrm {M,N}$ pour toutes les distances moyennes $r,r',\ldots$ des Planètes principales combinées deux à deux ; ainsi l’on pourra partir immédiatement de ces valeurs dans le calcul des coefficients de la formule trouvée pour l’altération du mouvement moyen des Planètes ; nous allons maintenant appliquer cette formule à Saturne et à Jupiter, et voir les conséquences qui en résultent relativement à leurs mouvements moyens.

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