sairement les quantités ![{\displaystyle [r,r'],[r,r']_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e734b9425bc122848b81572a814b01b09ff06ea1)
on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {d[r,r']\,\ }{dr}}+r'{\frac {d[r,r']\ \ }{dr'}}+[r,r']\ \ =&0,\\r{\frac {d[r,r']_{1}}{dr}}+r'{\frac {d[r,r']_{1}}{dr'}}+[r,r']_{1}=&0,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ee3794afc55be96cb3e021397f5bbde3d044cf4)
donc
![{\displaystyle {\frac {d[r,r']\ }{dr'}}=-{\frac {[r,r']}{r'}}-{\frac {r}{r'}}{\frac {d[r,r']}{dr}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dab9cfcc26bc51076d4db6792f2a2eea819a3516)
et, différentiant successivement par 
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}[r,r']}{drdr'}}=&-{\frac {2}{r'}}{\frac {d[r,r']}{dr}}-{\frac {r}{r'}}{\frac {d^{2}[r,r']}{dr^{2}}},\\{\frac {d^{3}[r,r']}{dr^{2}dr'}}=&-{\frac {3}{r'}}{\frac {d^{2}[r,r']}{dr^{2}}}-{\frac {r}{r'}}{\frac {d^{3}[r,r']}{dr^{3}}},\\{\frac {d^{3}[r,r']}{drdr'^{2}}}=&{\frac {2}{r'^{2}}}{\frac {d[r,r']}{dr}}+{\frac {r}{r'^{2}}}{\frac {d^{2}[r,r']}{dr^{2}}}-{\frac {2}{r'}}{\frac {d^{2}[r,r']}{drdr'}}-{\frac {r}{r'}}{\frac {d^{3}[r,r']}{dr^{2}dr'}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1781e8aad71f51b069c20971e541410ca468e62)
ou bien, en substituant dans cette dernière formule les valeurs données par les deux précédentes,
![{\displaystyle {\frac {d^{3}[r,r']}{drdr'^{2}}}={\frac {6}{r'^{2}}}{\frac {d[r,r']}{dr}}+{\frac {6r}{r'^{2}}}{\frac {d^{2}[r,r']}{dr^{2}}}+{\frac {r^{2}}{r'^{2}}}{\frac {d^{3}[r,r']}{dr^{3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce2252b7c9cfcd4e9b83d13e7843323108d75d0b)
On aura de pareilles expressions pour les différences de ![{\displaystyle [r,r']\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7f75a8a5f3f13092ef6f0c36790093ff51e3b20)
et, faisant ces substitutions dans les valeurs des coefficients (2) et (3) données dans le no 9, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}(2)=&-\mathrm {T} '\left[r^{2}{\frac {d[r,r']}{dr}}+2r^{3}{\frac {d^{2}[r,r']}{dr^{2}}}+{\frac {r^{4}}{2}}{\frac {d^{3}[r,r']}{dr^{3}}}\right],\\(3)=&-\mathrm {T} '\left[-{\frac {r[r,r']_{1}}{4}}+{\frac {r^{2}}{4}}{\frac {d[r,r']_{1}}{dr}}-{\frac {15r^{3}}{8}}{\frac {d^{2}[r,r']_{1}}{dr^{2}}}-{\frac {r^{4}}{2}}{\frac {d^{3}[r,r']_{1}}{dr^{3}}}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f11d0a9d4ef855beb3d3145e0f4fde93dc3a829)
21. Les quantités sont évidemment les mêmes que nous avions d’abord désignées par 
dans le no 43 de la première Partie de la Théorie des variations séculaires, et dont nous avons ensuite, dans le no 45, donné les valeurs exprimées par les quantités 
ainsi que celles de leurs différences premières et secondes. On aura donc
