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on aura pour la valeur de ${\frac {d\mathrm {V} }{dr}}$

$-\mathrm {T} '\left[{\frac {1}{r'^{2}}}-{\frac {d\left[rr'(r,r')\right]}{dr}}-{\frac {d\left[rr'(r,r')_{1}\right]}{dr}}\cos(p-p')-\ldots \right].$

Substituant cette valeur dans la quantité dont il s’agit, développant les produits des sinus et cosinus, et ne retenant que les termes sans sinus ni cosinus, on aura enfin

$\mathrm {T} 'r^{2}{\frac {d\left[rr'(r,r')_{1}\right]}{dr}}\sin ^{2}{\frac {\eta }{2}}$

pour la quantité à ajouter à la valeur de ${\frac {d\Sigma }{dp}}.$

Ainsi il n’y aura qu’à ajouter ce nouveau terme au second membre de la dernière équation du n^o 8, en y changeant en même temps les quantités $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ en $m$ et $n.$

19. Nous remarquerons maintenant que les quantités $m,$ n sont au troisième ordre près égales à $\mathrm {M} ,$ $\mathrm {N} \,;$ car ces quantités, étant exprimées par $\lambda \sin \varphi ,$ $\lambda \cos \varphi ,$ où $\varphi$ est la longitude de l’aphélie dans l’orbite (12), ont par conséquent la même valeur que les quantités $\lambda \sin \Phi ,\ \lambda \cos \Phi$ du n^o 18 du Mémoire précédent ; et il est aisé de voir que celles-ci se réduisent à $\mathrm {M,N}$ en négligeant les quantités du troisième ordre, puisque

$\Omega =\int \cos id\omega =\omega -{\frac {1}{2}}\int i^{2}d\omega .$

Ainsi, comme dans la Théorie des variations séculaires nous avons nommé $x,y$ les quantités $\mathrm {M,N} ,$ on pourra également, dans l’équation précédente, changer $m,n$ en $x,y.$

De plus, on a aussi au troisième ordre près

$\sin {\frac {\eta }{2}}={\frac {\eta }{2}}={\frac {\operatorname {tang} \eta }{2}}\,;$

mais nous avons démontré, dans le n^o 18 de la seconde Partie de la Théo-