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Or, comme représente l’inclinaison réciproque des orbites que nous supposons du même ordre que l’excentricité $\lambda$ et par conséquent que les quantités $m$ et $n,$ il est clair que la quantité dont il s’agit est déjà très-petite du seoond ordre, et qu’ainsi l’accroissement de $\Omega$ sera au quatrième ordre près

$2\mathrm {V} \sin ^{2}{\frac {\eta }{2}}\sin(q-\psi )\sin(q'-\psi ),$

en faisant

$\mathrm {V} =-\mathrm {T} '\left[{\frac {\rho }{\rho '^{2}}}-{\frac {\rho \rho '}{\left[\rho ^{2}-2\rho \rho '\cos(q-q')+\rho '^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}\right].$

Donc, puisque dans l’expression de ${\frac {d\Sigma }{dp}}$ nous avons négligé les troisièmes dimensions de $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N} ,$ il s’ensuit qu’en négligeant pareillement les troisièmes dimensions de $m,n,\eta ,$, il n’y aura que le premier terme $2r^{2}{\frac {d\Omega }{dp}}$ de cette expression dans lequel on doive avoir égard à l’accroissement de $\Omega ,$ et qu’ainsi la valeur de ${\frac {d\Sigma }{dp}}$ se trouvera par là simplement augmentée de la quantité

$4r^{2}{\frac {d\mathrm {V} }{d\rho }}\sin ^{2}{\frac {\eta }{2}}\sin(q-\psi )\sin(q'-\psi ).$

Par la même raison, puisque cette quantité est du second ordre, on pourra d’abord y substituer $r,r',p,p'$ à la place de $\rho ,\rho ',q,q',$ ce qui la réduira à

$4r^{2}{\frac {d\mathrm {V} }{dr}}\sin ^{2}{\frac {\eta }{2}}\sin(p-\psi )\sin(p'-\psi ),$

$\mathrm {V}$ étant$=-\mathrm {T} '\left[{\frac {r}{r'^{2}}}-{\frac {rr'}{\left[r^{2}-2rr'\cos(p-p')+r'^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}\right].$

Développons en série le radical irrationnel

$\left[r^{2}-2rr'\cos(p-p')+r'^{2}\right]^{\frac {3}{2}},$

et supposons, comme dans la Théorie des variations séculaires, cette série représentée par

$(r,r')+(r,r')_{1}\cos(p-p')+(r,r')_{2}\cos 2(p-p')+\ldots \,;$