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on aura, à cause de

$\sigma '={\sqrt {\rho ^{2}-2\rho \rho '\cos \varepsilon +\rho '^{2}}}$

et de $\cos \varepsilon$ fonction de $q$ sans $\rho ,$

$\Phi =\rho {\frac {d\Omega }{d\rho }},\quad (d\Omega )={\frac {d\Omega }{d\rho }}dr+{\frac {d\Omega }{dq}}dq.$

Donc l’équation $(g)$ du n^o 14 donnera par ces substitutions

$d\chi =-\rho ^{2}{\frac {d\Omega }{dq}}dq\,;$

et enfin, substituant cette valeur de $d\chi$ ainsi que celle de dans les équations $(f)$ du même numéro, on aura

${\begin{aligned}dm=&-{\frac {d\Omega }{dq}}\cos qd\rho +\left(2\rho {\frac {d\Omega }{dq}}\sin q-\rho ^{2}{\frac {d\Omega }{d\rho }}\cos q\right)dq,\\dn\ =&{\frac {d\Omega }{dq}}\sin qd\rho +\left(2\rho {\frac {d\Omega }{dq}}\cos q+\rho ^{2}{\frac {d\Omega }{d\rho }}\sin q\right)dq,\end{aligned}}$

expressions qu’on voit être de la même forme que celles de $d\mathrm {M}$ et $d\mathrm {N}$ du n^o 5.

Et à l’égard de la fonction $\Omega ,$ on voit qu’elle est aussi de la même forme que celle du n^o 7, si ce n’est qu’à la place de l’angle $q-q'$ il y a l’angle $\varepsilon \,;$ mais ces deux angles sont d’ailleurs analogues entre eux, puisqu’ils expriment également dans les deux hypothèses la distance d’une Planète à l’autre.

17. Prenant $r$ pour représenter le demi-grand axe, comme dans les calculs ci-dessus, on a, par les propriétés de l’ellipse, le demi-paramètre

$\chi =r\left(1-\lambda ^{2}\right)=r\left(1-m^{2}-n^{2}\right).$

Ainsi l’équation $(a)$ du n^o 12 donnera

$\rho ={\frac {r\left(1-m^{2}-n^{2}\right)}{1-m\sin q-n\cos q}}\,;$