Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 5.djvu/398

Et cette équation combinée avec l’équation $(d)$ donnera les valeurs de $dm$ et $dn$ ; on aura ainsi

$(f)\qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}dm=&-{\frac {d\varkappa }{\rho }}\sin q+\left({\frac {d\rho d\varkappa }{2\rho ^{2}dq}}-\Phi \rho dq\right)\cos q,\\dn\ =&-{\frac {d\varkappa }{\rho }}\cos q-\left({\frac {d\rho d\varkappa }{2\rho ^{2}dq}}-\Phi \rho dq\right)\sin q.\end{aligned}}\right.$

14. Il ne reste plus qu’à trouver la valeur de $d\varkappa \,;$ on la tirera de l’équation $(b)$, en y appliquant le même raisonnement que nous venons de faire sur l’équation $(e)$. Ainsi, comme

$\varkappa ={\frac {\rho ^{4}dq^{2}}{dt^{2}}},$

et que

$\rho ^{2}dq^{2}+d\rho ^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},$

puisque ces deux quantités expriment également le carré de l’élément de l’espace parcouru, que par conséquent

$\rho ^{4}dq^{2}=\rho ^{2}\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right)-(\rho d\rho )^{2},$

il s’ensuit qu’on aura la valeur de $d\varkappa ,$ en faisant varier dans

${\frac {\rho ^{2}\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right)}{dt^{2}}}-{\frac {(xdx+ydy+zdz)^{2}}{dt^{2}}}$

les différences $dx,dy,dz$ seulement et substituant ensuite $\mathrm {-X,-Y,-Z}$ pour ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}.$

Donc, faisant, pour abréger,

$\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dyd+\mathrm {Z} dz=(d\Omega ),$

on aura sur-le-champ

$(g)\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \varkappa =2\Phi \rho d\rho -2\rho ^{2}(d\Omega ),$

valeur qu’il faudra substituer dans les deux équations $(f)$ ci-dessus.