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lesquelles sont, par rapport aux coordonnées rectangles $x,y,z,$

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {x}{\rho ^{3}}}+\mathrm {X} =0,\quad {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {y}{\rho ^{3}}}+\mathrm {Y} =0,\quad {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {z}{\rho ^{3}}}+\mathrm {Z} =0,$

$\mathrm {X,Y,Z}$ étant les forces perturbatrices.

Ainsi, comme

$\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},$

et par conséquent

$d\rho ={\frac {xdx+ydy+zdz}{\rho }},$

il n’y aura qu’à substituer dans la différentielle de l’équation $(e)$ pour

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\quad {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\quad {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}$

les valeurs

$-{\frac {x}{\rho }}-\mathrm {X} ,\quad -{\frac {y}{\rho }}-\mathrm {Y} ,\quad -{\frac {z}{\rho }}-\mathrm {Z} .$

Mais, puisque la variabilité des éléments ne vient que des forces perturbatrices, il s’ensuit que les termes affectés de $d\varkappa ,dm,dn$ et de $\mathrm {X,Y,Z}$ doivent former une équation à part, celle composée des autres termes devant subsister d’elle-même, parce que l’équation dont il s’agit satisfait par l’hypothèse aux équations de l’orbite invariable.

Il n’y aura donc qu’à faire varier dans l’équation $(e)$ les éléments $\varkappa ,m,n$ et les différences $dx,dy,dz,$ et substituer simplement $\mathrm {-X,-Y,-Z}$ à la place de ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\,;$ ce qui donnera sur-le-champ celle-ci

$-{\frac {dt{\sqrt {\varkappa }}}{\rho }}(\mathrm {X} x+\mathrm {Y} y+\mathrm {Z} z)+{\frac {d\rho d\varkappa }{2dt{\sqrt {\varkappa }}}}=\cos qdm-\sin qdn,$

ou bien, en faisant, pour abréger,

$\mathrm {X} x+\mathrm {Y} y+\mathrm {Z} z=\Phi ,$

et substituant pour $dt{\sqrt {\varkappa }}$ sa valeur $\rho ^{2}dq$ de l’équation $(b)$,

$\cos qdm-\sin qdn={\frac {d\rho d\varkappa }{2\rho ^{2}dq}}-\Phi \rho dq.$