Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 5.djvu/395

l’orbite, $\lambda$ l’excentricité et $\varkappa$ le demi-paramètre ; on aura, comme on sait, pour l’équation de l’orbite elliptique

${\frac {\varkappa }{\rho }}=1-\lambda \cos(q-\varphi ),$

laquelle, en faisant

$\lambda \sin \varphi =m,\quad \lambda \cos \varphi =n,$

devient

$(a)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {\varkappa }{\rho }}=1-m\sin q-n\cos q.$

De plus, cette orbite étant décrite par une force centrale ${\frac {1}{\rho ^{2}}},$ comme le sont celles des Planètes en prenant la somme des masses du Soleil et de la Planète pour l’unité, on aura, par la propriété connue des aires,

$(b)\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \rho ^{2}dq=dt{\sqrt {\varkappa }}.$

La valeur de $d\rho$ doit être la même, soit que l’orbite varie ou non ; ainsi, en différentiant l’équation (a), on aura d’un côté

$(c)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {\varkappa d\rho }{\rho ^{2}}}=(m\cos q-n\sin q)dq,$

et de l’autre

$(d)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {d\varkappa }{\rho }}=-\sin qdm-\cos qdn.$

En substituant dans l’équation (c) la valeur de $dq$ tirée de l’équation (b), elle devient

$(e)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {d\rho {\sqrt {\varkappa }}}{dt}}=m\cos q-n\sin q.$

13. Pour que cette équation appartienne à l’orbite troublée, en y regardant les éléments $\varkappa ,m,n$ comme variables, il faudra que sa différentielle satisfasse aux équations différentio-différentielles de cette orbite,