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Pour avoir les transformées de ${\frac {d\Omega }{d\rho }}$ et ${\frac {d\Omega }{dwq}},$ il n’y aura qu’à changer, dans la précédente, la quantité $\Omega$ en ${\frac {d\Omega }{dr}},{\frac {d\Omega }{dp}}.$

Substituant ces valeurs dans la formule du numéro précédent, et négligeant les dimensions de $\mathrm {M,N} ,\alpha ,\beta ,\alpha ',\beta '$ au-dessus du second degré, on aura

${\begin{aligned}&{\frac {d\Sigma }{dp}}=\\&r^{2}{\frac {d\Omega }{dr}}\left(2+{\frac {3\mathrm {M} }{2}}\sin p+{\frac {3\mathrm {N} }{2}}\cos p-\mathrm {MN} \sin 2p+\mathrm {\frac {M^{2}-N^{2}}{2}} \cos 2p+\mathrm {\frac {M^{2}+N^{2}}{2}} \right)\\&+r^{2}\left(r{\frac {d^{2}\Omega }{dr^{2}}}\alpha +r'{\frac {d^{2}\Omega }{drdr'}}\alpha '+{\frac {d^{2}\Omega }{drdp}}\beta +{\frac {d^{2}\Omega }{drdp'}}\beta '\right)\left(2+{\frac {3\mathrm {M} }{2}}\sin p+{\frac {3\mathrm {N} }{2}}\cos p\right)\\&+r^{2}\left(r^{2}{\frac {d^{3}\Omega }{dr^{3}}}\alpha ^{2}+r'^{2}{\frac {d^{3}\Omega }{drdr'^{2}}}\alpha '^{2}+{\frac {d^{3}\Omega }{drdp^{2}}}\beta ^{2}+{\frac {d^{3}\Omega }{drdp'^{2}}}\beta '^{2}\right.\\&\qquad \qquad +2rr'{\frac {d^{3}\Omega }{dr^{2}dr'}}\alpha \alpha '+2r{\frac {d^{3}\Omega }{dr^{2}dp}}\alpha \beta +2r{\frac {d^{3}\Omega }{dr^{2}dp}}\alpha \beta '\\&\qquad \qquad +\left(2r'{\frac {d^{3}\Omega }{drdr'dp}}\alpha '\beta +2r'{\frac {d^{3}\Omega }{drdr'dp'}}\alpha '\beta '+2{\frac {d^{3}\Omega }{drdpdp'}}\beta \beta '\right)\\&+r{\frac {d\Omega }{dp}}\left[\mathrm {N} \sin p-\mathrm {M} \cos p+{\frac {5}{4}}\mathrm {\left(M^{2}-N^{2}\right)} \sin 2p+{\frac {5}{2}}\mathrm {MN} \cos 2p\right]\\&+r\left(r{\frac {d^{2}\Omega }{drdp}}\alpha +r'{\frac {d^{2}\Omega }{dr'dp}}\alpha '+{\frac {d^{2}\Omega }{dp^{2}}}\beta +{\frac {d^{2}\Omega }{dpdp'}}\beta '\right)(\mathrm {N} \sin p-\mathrm {M} \cos p).\end{aligned}}$

Or on a par le n^o 6

${\begin{aligned}\alpha =&\mathrm {M} \sin p+\mathrm {N} \cos p+\mathrm {\frac {M^{2}-N^{2}}{2}} \cos 2p-\mathrm {MN} \sin 2p+\mathrm {\frac {M^{2}+N^{2}}{2}} ,\\\beta =&2(\mathrm {M} \cos p-\mathrm {N} \sin p)-{\frac {5\mathrm {MN} }{2}}\cos 2p-{\frac {5\mathrm {\left(M^{2}-N^{2}\right)} }{4}}\sin 2p,\end{aligned}}$

et, marquant toutes les lettres d’un trait, on aura la valeur de $\alpha ',\beta '.$

De plus, si l’on développe la fraction irrationnelle

$\left[r^{2}-2rr'\cos(p-p')+r'^{2}\right]^{-{\frac {1}{2}}}$

en une série de cosinus de multiples de $p-p',$ et qu’on représente cette