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plan, mais telles, que l’axe des $a''$ coïncide avec l’axe des $\xi \,;$ on trouvera pareillement

$a''=a'\cos \psi -b''\sin \psi ,\quad b'''=b''\cos \psi +a'\sin \psi .$

Et il est visible que les trois coordonnées $a'',b''',c'$ seront la même chose que les $\xi ,\eta ,\zeta ,$ puisqu’elles sont rapportées aux mêmes axes ; de sorte qu’en substituant successivement les valeurs de $a',b'',b',$ on aura les expressions cherchées de $\xi ,\eta ,\zeta ,$ en $a,b,c,\ldots$ lesquelles se trouveront de la même forme que celles du n^o 16, en supposant

${\begin{aligned}\xi '\ \ =&\cos \varphi \cos \psi -\sin \varphi \sin \psi \cos \omega ,\\\xi ''\ =&-\sin \varphi \cos \psi -\cos \varphi \sin \psi \cos \omega ,\\\xi '''=&\sin \psi \sin \omega \,;\\\eta '\ \ =&\cos \varphi \sin \psi +\sin \varphi \cos \psi \cos \omega ,\\\eta ''\ =&-\sin \varphi \sin \psi +\cos \varphi \cos \psi \cos \omega ,\\\eta '''=&-\cos \psi \sin \omega \,;\\\zeta '\ \ =&\sin \varphi \sin \omega ,\\\zeta ''\ =&\cos \varphi \sin \omega ,\\\zeta '''=&\cos \omega .\end{aligned}}$

Ces valeurs satisfont aussi aux six équations de condition du même numéro, ainsi qu’à celles du n^o 17, et résolvent ces équations dans toute leur étendue, puisqu’elles renferment trois variables indéterminées $\varphi ,\psi ,\omega .$

Si maintenant on fait ces substitutions dans les valeurs de $d\mathrm {P} ,d\mathrm {Q} ,d\mathrm {R}$ du n^o 21, on trouvera, après quelques réductions, ces expressions fort simples

${\begin{aligned}d\mathrm {P} =&\sin \varphi \sin \omega d\psi +\cos \varphi d\omega ,\\d\mathrm {Q} =&\cos \varphi \sin \omega d\psi -\sin \varphi d\omega ,\\d\mathrm {R} =&d\varphi +\cos \omega d\psi .\end{aligned}}$

24. Puisque les variables $\varphi ,\psi ,\omega$ sont indéterminées et indépendantes entre elles, il ne s’agira donc plus que d’avoir les quantités $\mathrm {T}$ et $\mathrm {V}$ en fonctions de ces variables ; ensuite, différentiant par rapport à la caractéristique $\delta ,$ on aura trois équations de la forme de celles du n^o 11, les-