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Ensuite on-aura pour $\rho dq$ l’expression

$r\left[1-\mathrm {M} \sin p-\mathrm {N} \cos p+2\mathrm {MN} \sin 2p-\mathrm {\left(M^{2}-N^{2}\right)} \cos 2p-\mathrm {\frac {M^{2}+N^{2}}{2}} \right],$

et pour $\rho ^{2}dq$ celle-ci

$r^{2}\left(1-\mathrm {\frac {M^{2}+N^{2}}{2}} \right)dp.$

De sorte que la quantité $\mathrm {A} \rho ^{2}dq$ deviendra, en négligeant toujours les troisièmes dimensions de $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N} ,$

$r^{2}\left(2+{\frac {3\mathrm {M} }{2}}\sin p+{\frac {3\mathrm {N} }{2}}\cos p-\mathrm {MN} \sin 2p+\mathrm {\frac {M^{2}-N^{2}}{2}} \cos 2p+\mathrm {\frac {M^{2}+N^{2}}{2}} \right)dp,$

la quantité $\mathrm {A} d\rho$ deviendra

$r\left[2\mathrm {M} \cos p-2\mathrm {N} \sin p-{\frac {5}{4}}\mathrm {\left(M^{2}-N^{2}\right)} \sin 2p-{\frac {5}{2}}\mathrm {MN} \cos 2p\right]dp,$

et la quantité $\mathrm {B} \rho dq$ deviendra

$r\left[3\mathrm {N} \sin p-3\mathrm {M} \cos p+5\mathrm {MN} \cos 2p+{\frac {5}{2}}\mathrm {\left(M^{2}-N^{2}\right)} \sin 2p\right]dp.$

Donc enfin, faisant ces substitutions dans l’expression de $d\Sigma$ du numéro précédent, on aura

${\begin{aligned}&{\frac {d\Sigma }{dp}}=\\&r^{2}{\frac {d\Omega }{d\rho }}\left(2+{\frac {3\mathrm {M} }{2}}\sin p+{\frac {3\mathrm {N} }{2}}\cos p-\mathrm {MN} \sin 2p+\mathrm {\frac {M^{2}-N^{2}}{2}} \cos 2p+\mathrm {\frac {M^{2}+N^{2}}{2}} \right)\\&\quad +r{\frac {d\Omega }{dq}}\left[\mathrm {N} \sin p-\mathrm {M} \cos p+{\frac {5}{4}}\mathrm {\left(M^{2}-N^{2}\right)} \sin 2p+{\frac {5}{2}}\mathrm {MN} \cos 2p\right].\end{aligned}}$

7. Il ne reste plus qu’à faire les mêmes substitutions dans la fonction $\Omega ,$ qui par le n^o 5 est (42, Théorie citée)

${\begin{aligned}\Omega &=\mathrm {T} '\ \left[{\frac {\rho \cos(q-q'\ )}{\rho '^{2}}}\ -{\frac {1}{\sqrt {\rho ^{2}-2\rho \rho '\ \ \cos(q-q'\ )+\rho '^{2}\ \ }}}\right]\\&+\mathrm {T} ''\ \left[{\frac {\rho \cos(q-q''\ )}{\rho ''^{2}}}-{\frac {1}{\sqrt {\rho ^{2}-2\rho \rho ''\ \cos(q-q''\ )+\rho ''\ ^{2}}}}\right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$