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Ainsi à la place de $q$ il faudra substituer

$p+2\mathrm {M} \cos p-2\mathrm {N} \sin p-{\frac {5\mathrm {MN} }{2}}\cos 2p-{\frac {5\mathrm {\left(M^{2}-N^{2}\right)} }{4}}\sin 2p,$

et à la place de $\rho$

$r\left(1+\mathrm {M} \sin p+\mathrm {N} \cos p+\mathrm {\frac {M^{2}-N^{2}}{2}} \cos 2p-\mathrm {MN} \sin 2p+\mathrm {\frac {M^{2}+N^{2}}{2}} \right).$

À la vérité il faudrait, d’après ce que nous avons dit au commencement de ce Mémoire, mettre dans ces expressions $p+\Sigma$ à la place de $p\,;$ mais : 1^o on peut retenir pour plus de simplicité la seule lettre $p,$ en se souvenant qu’à la rigueur elle doit être augmentée de $\Sigma \,;$ 2^o comme nous ne cherchons pas la valeur entière de $d\Sigma ,$ mais seulement les termes de cette valeur qui doivent être indépendants de tout sinus et cosinus de $p,$ il est indifférent pour le résultat du calcul de mettre $p+\Sigma$ à la place de $p$ ou non.

Pour avoir les valeurs de $dq$ et $dr,$ on différentiera les expressions précédentes, en n’y faisant varier que $p,$ puisque nous avons vu que les différentielles sont les mêmes que si les éléments étaient constants.

De sorte qu’on aura pour $dq$

$\left(1-2\mathrm {M} \sin p-2\mathrm {N} \cos p+5\mathrm {MN} \sin 2p-\mathrm {\frac {5\left(M^{2}-N^{2}\right)}{2}} \cos 2p\right)dp,$

et pour $d\rho$

$r\left(\mathrm {M} \cos p-\mathrm {N} \sin p-\mathrm {\left(M^{2}-N^{2}\right)} \sin 2p-2\mathrm {MN} \cos 2p\right)dp,$

Faisant donc ces substitutions dans les valeurs de $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ du numéro précédent, elles deviendront, aux troisièmes dimensions près de $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N} ,$

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&2+{\frac {3\mathrm {M} }{2}}\sin p+{\frac {3\mathrm {N} }{2}}\cos p-\mathrm {MN} \sin 2p+\mathrm {\frac {M^{2}-N^{2}}{2}} \cos 2p+\mathrm {\frac {3\left(M^{2}+N^{2}\right)}{2}} ,\\\mathrm {B} =&3\mathrm {N} \sin p-3\mathrm {M} \cos p+\mathrm {\left(M^{2}-N^{2}\right)} \sin 2p+2\mathrm {MN} \cos 2p.\end{aligned}}$