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rayon vecteur à la place de la lettre $r$ que nous conserverons pour exprimer le demi-grand axe, on aura

${\begin{aligned}d\mathrm {M} =&-{\frac {d\Omega }{dq}}\cos qd\rho +\left(2\rho {\frac {d\Omega }{dq}}\sin q-\rho ^{2}{\frac {d\Omega }{d\rho }}\cos q\right)dq,\\d\mathrm {N} \ =&{\frac {d\Omega }{dq}}\sin qd\rho +\left(2\rho {\frac {d\Omega }{dq}}\cos q+\rho ^{2}{\frac {d\Omega }{d\rho }}\sin q\right)dq\,;\end{aligned}}$

donc, faisant ces substitutions et réduisant, on aura

${\begin{aligned}d\Sigma =&2{\frac {d\Omega }{dq}}d\rho +2\rho ^{2}{\frac {d\Omega }{d\rho }}dq\\&+{\frac {3\mathrm {M} }{2}}\left({\frac {d\Omega }{dq}}\sin qd\rho -2\rho {\frac {d\Omega }{dq}}\cos qdq+\rho ^{2}{\frac {d\Omega }{d\rho }}\sin qdq\right)\\&+{\frac {3\mathrm {N} }{2}}\ \left({\frac {d\Omega }{dq}}\cos qd\rho +2\rho {\frac {d\Omega }{dq}}\sin qdq+\rho ^{2}{\frac {d\Omega }{d\rho }}\cos qdq\right)\\&+2\mathrm {MN} \left({\frac {d\Omega }{dq}}\sin 2qd\rho -2\rho {\frac {d\Omega }{dq}}\cos 2qdq+\rho ^{2}{\frac {d\Omega }{d\rho }}\sin 2qdq\right)\\&+\mathrm {\left(N^{2}-M^{2}\right)} \left({\frac {d\Omega }{dq}}\cos 2qd\rho +2\rho {\frac {d\Omega }{dq}}\sin 2qdq+\rho ^{2}{\frac {d\Omega }{d\rho }}\cos 2qdq\right),\end{aligned}}$

expression qu’on peut mettre sous cette forme

$d\Sigma =\mathrm {A} \left({\frac {d\Omega }{d\rho }}\rho ^{2}dq+{\frac {d\Omega }{dq}}d\rho \right)+\mathrm {B} {\frac {d\Omega }{dq}}\rho dq,$

en faisant

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&2+{\frac {3\mathrm {M} }{2}}\sin q+{\frac {3\mathrm {N} }{2}}\cos q+2\mathrm {MN} \sin 2q-\mathrm {\left(M^{2}-N^{2}\right)} \cos 2q,\\\mathrm {B} =&3\mathrm {N} \sin q-3\mathrm {M} \cos q-2\mathrm {\left(M^{2}-N^{2}\right)} \sin 2q-4\mathrm {MN} \cos 2q.\end{aligned}}$

6. Il faut maintenant substituer dans cette formule les valeurs de $\rho$ et $q$ exprimées par la distance moyenne $r$ et par le mouvement moyen $p\,;$ et comme nous tenons compte des secondes dimensions de $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N} ,$ il faudra aussi y avoir égard dans les valeurs dont il s’agit. Or nous pouvons emprunter pour cet objet les expressions données dans le n^o 20 du Mémoire précédent, en y changeant $x$ et $y$ en $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N} ,$ et y faisant $s,u$ nuls, puisque nous regardons l’inclinaison comme nulle.