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aucun des termes qui peuvent donner des équations séculaires. Pour le simplifier autant qu’il est possible, nous ferons d’abord abstraction de l’inclinaison de l’orbite ; nous verrons ensuite comment les formules trouvées pour ce cas s’appliquent, en général, aux orbites dont la position est variable ; et nous donnerons même à cette occasion une nouvelle analyse pour la détermination des variations séculaires des éléments de l’orbite.

5. Ayant déjà donné dans le Mémoire précédent (1) l’expression générale de $\operatorname {F} (q),$ exacte jusqu’au degré de précision qui est nécessaire dans la recherche présente, nous nous contenterons de l’emprunter, en y effaçant seulement les termes affectés des quantités $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} ,$ lesquelles, deviennent nulles dans l’hypothèse de l’orbite non inclinée.

On aura donc

${\begin{aligned}\operatorname {F} (q)=q&-2\mathrm {M} \cos q+2\mathrm {N} \sin q-\mathrm {\frac {3MN}{2}} \cos 2q+{\frac {3\mathrm {\left(N^{2}-M^{2}\right)} }{4}}\sin 2q\\&-\mathrm {\frac {3MN^{2}-M^{3}}{3}} \cos 3q+\mathrm {\frac {N^{3}-3NM^{2}}{3}} \sin 2q,\end{aligned}}$

et la différentielle prise en faisant varier $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ et regardant $q$ comme constante sera la valeur de $d\Sigma$.

De sorte qu’on aura

${\begin{aligned}d\Sigma =&-2(\cos qd\mathrm {M} -\sin qd\mathrm {N} )-{\frac {3\mathrm {M} }{2}}(\sin 2qd\mathrm {M} +\cos 2qd\mathrm {N} )\\&+{\frac {3\mathrm {N} }{2}}(\cos 2qd\mathrm {M} -\sin 2qd\mathrm {N} )-2\mathrm {MN} (\sin 3qd\mathrm {M} +\cos 3qd\mathrm {N} )\\&+\mathrm {\left(M^{2}-N^{2}\right)} (\cos 3qd\mathrm {M} -\sin 3qd\mathrm {N} ).\end{aligned}}$

Les valeurs de $d\mathrm {M}$ et $d\mathrm {N}$ ont été données dans le n^o 41 de la Théorie des variations séculaires^[1]. Dans le cas présent, les termes qui contiennent $z$ doivent disparaître, puisque $z$ est l’ordonnée perpendiculaire au plan de projection ; les valeurs dont il s’agit se réduisent alors à la forme de celles du n^o 42 de la même Théorie ; de sorte qu’en prenant $\rho$ pour dénoter le

1. Voir à la page 176 de ce volume.