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$f(q)$ étant une fonction algébrique de sinus et cosinus de $q,$ dans laquelle les éléments de l’orbite entrent comme coefficients. Soit $\operatorname {F} (q)$ l’intégrale de $f(q)dq,$ en regardant ces éléments comme constants ; on aura alors

$p=\operatorname {F} (q),$

d’où l’on tire

$q=\Phi (p)\,;$

c’est l’expression de la longitude vraie par la moyenne dans les orbites invariables.

Lorsque l’orbite est variable, $\operatorname {F} (q)$ ne sera plus l’intégrale exacte de $f(q)dq\,;$ car la différentielle de $\operatorname {F} (q)$ contient, outre la partie $f(q)dq$ due à la variabilité de $q,$ encore celle qui vient de la variabilité des éléments de sorte qu’en dénotant celle-ci par la caractéristique $\delta ,$ et la ditférentielle totale par la caractéristique ordinaire $d,$ on aura

$d\operatorname {F} (q)=f(q)dq+\delta \operatorname {F} (q)\,;$

donc

$f(q)dg=dp=d\operatorname {F} (q)-\delta \operatorname {F} (q),$

ou

$dp+\delta \operatorname {F} (q)=d\operatorname {F} (q),$

et, intégrant,

$p+\int \delta \operatorname {F} (q)=\operatorname {F} (q),$

équation d’où l’on tirera ensuite

$q=\Phi \left[p+\int \delta \operatorname {F} (q)\right].$

On voit par là que la variabilité des éléments de l’orbite ne fait qu’ajouter à la longitude moyenne $p$ la quantité $\int \delta \operatorname {F} (q)\,;$ c’est celle que nous avons dénotée par $\Sigma$ dans le Mémoire précédent ; en sorte que l’on aura, en général,

$d\Sigma =\delta \operatorname {F} (q).$