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En ajoutant ensemble les carrés de ces équations, on aura

$\lambda ^{2}=\mathrm {M^{2}+N^{2}+L^{2}} ,$

comme cela doit être d’après nos formules primitives, et en les divisant l’une par l’autre on aura la valeur de $\operatorname {tang} \Phi$ en quantités toutes connues, puisque les angles $\omega$ et $i$ sont donnés par les formules

$s=\operatorname {tang} i\sin \omega ,\quad u=\operatorname {tang} i\cos \omega .$

Si l’on voulait au contraire déterminer les valeurs de $\mathrm {N,M,L}$ en $\lambda ,\Phi ,\Omega ,$$\omega ,i,$ ce qui pourrait être utile dans quelques occasions, on trouverait par les formules précédentes

${\begin{aligned}\mathrm {N} \ =&\lambda \left[\cos(\Phi -\Omega )\cos \omega -\sin(\Phi -\Omega )\sin \omega \cos i\right],\\\mathrm {M} =&\lambda \left[\cos(\Phi -\Omega )\sin \omega +\sin(\Phi -\Omega )\cos \omega \cos i\right],\\\mathrm {L} \ =&\lambda \sin(\Phi -\Omega )\sin i.\end{aligned}}$

19. Comme l’objet final des observations et des calculs astronomiques relativement aux Planètes se réduit toujours à la détermination de leurs lieux rapportés à l’écliptique, et que cette détermination ne dépend que de trois éléments, de la distance accourcie au rayon vecteur de l’orbite projetée, de la longitude vraie ou angle de ce rayon avec une ligne fixe, et de la latitude ou angle du rayon vecteur de l’orbite vraie avec celui de l’orbite projetée, il suffira de connaître les altérations que ces éléments doivent subir par l’effet des variations périodiques que nous avons déterminées.

Cet effet consiste à changer les éléments de l’orbite

${\overline {r}},\quad {\overline {x}},\quad {\overline {y}},\quad {\overline {s}},\quad {\overline {u}}$

en

${\overline {r}}+\rho ,\quad {\overline {x}}+\xi ,\quad {\overline {y}}+\psi ,\quad {\overline {s}}+\sigma ,\quad {\overline {u}}+\nu$

et la longitude moyenne ${\overline {p}}$ en ${\overline {p}}+\varpi \,;$ ainsi il n’y aura qu’à faire ces changements dans les expressions connues de la longitude vraie, du rayon vecteur et de la latitude, calculées pour une ellipse invariable. Par conséquent, si $q$ est la longitude vraie, $r$ le rayon vecteur, $l$ Ia tangente de