Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 5.djvu/373

par nos formules, il faudrait faire attention que, $\omega$ étant la longitude du nœud dans le plan de projection, sa longitude doit être exprimée par $\int \cos id\omega ,$ $i$ étant l’angle d’inclinaison ; car il est évident que, tandis que le nœud avance de l’angle $d\omega$ dans le plan de projection, il n’avance dans le plan de l’orbite que de l’angle $\cos id\omega ,$ qui est le côté adjacent à l’angle $i$ dans le triangle rectangle dont $d\omega$ est l’hypoténuse.

Ainsi, nommant $\Omega$ la longitude $\int \cos id\omega$ du nœud dans l’orbite, $\Phi$ la longitude de l’aphélie dans la même orbite, et $\eta$ la latitude de cet aphélie comme dans le n^o 9 de la Théorie des variations séculaires, et considérant le triangle sphérique rectangle dont $\Phi -\Omega$ est l’hypoténuse, $\varphi -\omega ,\ \eta$ les deux côtés, et $i$ l’angle opposé au côté $\eta ,$ on aura par les formules connues

$\sin(\Phi -\Omega )={\frac {\sin \eta }{\sin i}},\quad \cos(\Phi -\Omega )=\cos(\varphi -\omega )\cos \eta \,;$

faisant les substitutions du numéro cité, on aura

$\lambda \sin(\Phi -\Omega )={\frac {\mathrm {L} }{\sin i}},\quad \lambda \cos(\Phi -\Omega )=\mathrm {M} \sin \omega +\mathrm {N} \cos \omega .$

Or

$\mathrm {L=(M\cos \omega -N\sin \omega )} \operatorname {tang} i\,;$

donc, puisque

${\frac {1}{\sin i}}={\frac {1}{\operatorname {tang} i}}+\operatorname {tang} {\frac {i}{2}},$

la première équation deviendra

$\lambda \sin(\Phi -\Omega )=\mathrm {M} \cos \omega -\mathrm {N} \sin \omega +\mathrm {L} \operatorname {tang} {\frac {i}{2}},$

laquelle, étant combinée avec la seconde, donnera

${\begin{aligned}\lambda \sin \Phi =&\mathrm {M} \cos(\omega -\Omega )-\mathrm {N} \sin(\omega -\Omega )+\mathrm {L} \operatorname {tang} {\frac {i}{2}}\cos \Omega ,\\\lambda \cos \Phi =&\mathrm {M} \sin(\omega -\Omega )+\mathrm {N} \cos(\omega -\Omega )-\mathrm {L} \operatorname {tang} {\frac {i}{2}}\sin \Omega .\end{aligned}}$