Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 5.djvu/371

qui représente le radical $\left[{\overline {r}}^{2}-2{\overline {r}}{\overline {r}}'\cos \left({\overline {p}}-{\overline {p}}'\right)+{\overline {r}}'^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}},$ et ainsi des autres fonctions semblables.

16. Si dans cette expression de $\mathrm {Z}$ on développe les produits des sinus et cosinus, il viendra des termes proportionnels à $\sin {\overline {p}}$ et $\cos {\overline {p}},$ lesquels donneront par conséquent, dans les valeurs de $ds$ et $du,$ des termes exempts de sinus et cosinus. Ce seront les mêmes que nous avons trouvés dans l’endroit cité de la Théorie des variations séculaires, et qui nous ont donné les équations pour les variations séculaires de $s$ et $u\,;$ et comme l’analyse précédente est indépendante de la condition $d\mathrm {R} =0,$ que nous avions employée dans le même endroit, il s’ensuit que les équations dont il s’agit auraient également lieu quand même le grand axe de l’orbite serait aussi sujet à des variations séculaires ; qu’ainsi notre Théorie des nœuds et des inclinaisons des orbites planétaires subsiste indépendamment de l’inaltérabilité des distances moyennes.

À l’égard des autres termes, ils ne pourront donner que des sinus et \inftysinus dans les valeurs de $ds$ et $du\,;$ nous les avons négligés dans les équations du n^o 40 de la Théorie citée, parce qu’il n’était question alors que des variations séculaires ; mais, pour avoir maintenant les valeurs complètes de $ds$ et $du,$ il faudra ajouter ces termes aux équations dont il s’agit.

Désignons par $(\mathrm {S} )$ la totalité des termes en sinus et cosinus de la valeur de ${\overline {r}}^{2}\mathrm {Z} \sin {\overline {p}},$ et par $(\mathrm {U} )$ la totalité des termes pareils dans la valeur de ${\overline {r}}^{2}\mathrm {Z} \cos {\overline {p}}\,;$ il faudra donc ajouter respectivement aux valeurs de ${\frac {ds}{dt}},$${\frac {du}{dt}}$ les quantités $(\mathrm {S} ){\frac {d\,{\overline {p}}}{dt}},(\mathrm {U} ){\frac {d\,{\overline {p}}}{dt}}\,;$ de sorte que ces quantités formeront les seconds inembres des équations du numéro cité, lesquelles deviendront de cette manière

${\begin{aligned}&{\frac {ds}{dt}}+(0,1)(u-u')+(0,2)(u-u'')+\ldots ={\frac {(\mathrm {S} )}{{\overline {r}}^{\frac {3}{2}}}},\\&{\frac {du}{dt}}-(0,1)(s-s'\,)-(0,2)(s\,-s''\,)-\ldots ={\frac {(\mathrm {U} )}{{\overline {r}}^{\frac {3}{2}}}},\end{aligned}}$

et ainsi des autres équations semblables.