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faisant ces substitutions dans les valeurs de $ds$ et de $du,$ et supposant, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {Z} =&\mathrm {T} '\ \left({\frac {1}{\rho '^{3}\,}}-{\frac {1}{\sigma '^{3}\,}}\right)\left[(u-u'\ )y'\,-(s-s'\ )x'\ \right]\\+&\mathrm {T} ''\left({\frac {1}{\rho ''^{3}}}-{\frac {1}{\sigma ''^{3}}}\right)\left[(u-u'')y''-(s-s'')x''\right]\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

on aura

$ds=\mathrm {Z} y{\frac {dt}{\mathrm {R} }},\quad du=\mathrm {Z} x{\frac {dt}{\mathrm {R} }}\,;$

et il n’y aura plus qu’à mettre pour $x,y,x',y',\ldots$ leurs valeurs

$r\cos q,\quad r\sin q,\quad r'\cos q',\quad r'\sin q',\ldots ,$

et pour

${\frac {1}{\rho '^{3}}}-{\frac {1}{\sigma '^{3}}},\quad {\frac {1}{\rho ''^{3}}}-{\frac {1}{\sigma ''^{3}}},\ldots$

les expressions en séries données dans le numéro cité, ensuite substituer partout les valeurs de $r,q,r',q',\ldots$ en ${\overline {p}},{\overline {p}}',\ldots .$

En négligeant les quantités du second ordre ($s,u,s',u',\ldots$ étant regardées comme du premier, ainsi que $x,y,x',y',\ldots$) il suffira de changer $r$ en ${\overline {r}},$ $q$ en ${\overline {p}}$ et $\mathrm {R}$ en ${\sqrt {\overline {r}}}\,;$ ainsi, à cause de

$d{\overline {p}}={\frac {d\varepsilon }{{\overline {r}}^{\frac {3}{2}}}},$

on aura alors simplement

$ds={\overline {r}}^{2}\mathrm {Z} \sin {\overline {p}}d{\overline {p}},\quad du={\overline {r}}^{2}\mathrm {Z} \cos {\overline {p}}d{\overline {p}},$

et

${\begin{aligned}\mathrm {Z} &=\mathrm {T} '\ {\overline {r}}'\,\left[(u-u'\,)\sin {\overline {p}}'-(s-s'\ )\cos {\overline {p}}'\ \right]\\&\quad \times \left[{\frac {1}{{\overline {r}}'^{2}}}-({\overline {r}},{\overline {r}}'\ )-({\overline {r}},{\overline {r}}'\ )_{1}\cos({\overline {p}}-{\overline {p}}'\,)-({\overline {r}},{\overline {r}}'\ )_{2}\cos 2({\overline {p}}-{\overline {p}}'\ )-\ldots \right]\\&+\mathrm {T} ''{\overline {r}}''\left[(u-u'')\sin {\overline {p}}''-(s-s'')\cos {\overline {p}}''\right]\\&\quad \times \left[{\frac {1}{{\overline {r}}''^{2}}}-({\overline {r}},{\overline {r}}'')-({\overline {r}},{\overline {r}}'')_{1}\cos({\overline {p}}-{\overline {p}}'')-({\overline {r}},{\overline {r}}'')_{2}\cos 2({\overline {p}}-{\overline {p}}'')-\ldots \right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

les quantités $\left({\overline {r}},{\overline {r}}'\right),\left({\overline {r}},{\overline {r}}'\right)_{1},\left({\overline {r}},{\overline {r}}'\right)_{2},\ldots$ étant les coefficients de la série