Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 5.djvu/369

On pourra avec la même facilité tenir compte des termes multipliés par les variables $x,y,x',y',\ldots$ dans les expressions de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} \,;$ pour cela on y changera d’abord ces variables en ${\overline {x}},{\overline {y}},{\overline {x}}',{\overline {y}}',\ldots ,$ et l’on y substituera leurs valeurs trouvées dans la Théorie des variations séculaires on n’aura ainsi à intégrer que des termes en sinus et cosinus, et l’on pourra même simplifier beaucoup le calcul par des remarques semblables à celles que nous avons faites (7).

15. Il ne reste plus qu’à déterminer les inégalités des nœuds et des inclinaisons, lesquelles dépendent des équations différentielles du n^o 39 de la Théorie citée ; mais nous réduirons auparavant ces mêmes équations à une forme plus simple et plus générale à quelques égards.

En supposant, comme nous l’avons fait,

$s=\mathrm {\frac {P}{R}} =\theta \sin \omega ,\quad u=\mathrm {\frac {Q}{R}} =\theta \cos \omega ,$

où $\theta$ représente la tangente de l’inclinaison et $\omega$ la longitude du nœud ascendant comptée depuis un point fixe, on a

$ds={\frac {d\mathrm {P} }{\mathrm {R} }}-{\frac {\mathrm {P} d\mathrm {R} }{\mathrm {R} ^{2}}},\quad du={\frac {dQ}{R}}-{\frac {\mathrm {Q} d\mathrm {R} }{\mathrm {R} ^{2}}}.$

Or

${\begin{aligned}d\mathrm {P} =&\mathrm {T} '\left({\frac {1}{\rho '^{3}}}-{\frac {1}{\sigma '^{3}}}\right)(y'z-yz')dt+\mathrm {T} ''\left({\frac {1}{\rho ''^{3}}}-{\frac {1}{\sigma ''^{3}}}\right)(y''z-yz'')dt+\ldots ,\\d\mathrm {Q} =&\mathrm {T} '\left({\frac {1}{\rho '^{3}}}-{\frac {1}{\sigma '^{3}}}\right)(x'z-xz')dt+\mathrm {T} ''\left({\frac {1}{\rho ''^{3}}}-{\frac {1}{\sigma ''^{3}}}\right)(x''z-xz'')dt+\ldots ,\\d\mathrm {R} =&\mathrm {T} '\left({\frac {1}{\rho '^{3}}}-{\frac {1}{\sigma '^{3}}}\right)(x'y-xy')dt+\mathrm {T} ''\left({\frac {1}{\rho ''^{3}}}-{\frac {1}{\sigma ''^{3}}}\right)(x''y-xy'')dt+\ldots \,;\end{aligned}}$

mais

$z={\frac {\mathrm {Q} y-\mathrm {P} x}{\mathrm {R} }},\quad z'={\frac {\mathrm {Q} 'y'-\mathrm {P} 'x'}{\mathrm {R} '}},\ldots ,$

donc

${\begin{aligned}y'z-yz'=&\mathrm {\left({\frac {Q}{R}}-\mathrm {\frac {Q'}{R'}} \right)} yy'-\mathrm {\frac {P}{R}} xy'+\mathrm {\frac {P'}{R'}} x'y,\\x'z-xz'=&-\mathrm {\left({\frac {P}{R}}-\mathrm {\frac {P'}{R'}} \right)} xx'+\mathrm {\frac {Q}{R}} x'y-\mathrm {\frac {Q'}{R'}} xy'\,;\end{aligned}}$