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ces termes donneront dans l’intégrale de $(\mathrm {X} )d\,{\overline {p}}$ deux termes de la forme

$\mathrm {P} \cos \Pi \sin {\overline {p}}-\mathrm {Q} \sin \Pi \cos {\overline {p}},$

et dans l’intégrale de $(\mathrm {Y} )d\,{\overline {p}}$ les termes correspondants

$\mathrm {P} \cos \Pi \cos {\overline {p}}+\mathrm {Q} \sin \Pi \sin {\overline {p}},$

En effet, en différentiant et comparant les termes analogues, on parvient aux équations

$\mathrm {P-\mu Q=-N,\quad -\mu P+Q=M} ,$

Or dans le cas présent on a

${\begin{aligned}\mathrm {X} =&2{\overline {r}}{\frac {d\Omega }{d\,{\overline {p}}}}\\=&2\mathrm {T} '{\overline {r}}\left[\left(\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\ \right]_{1}-{\frac {\overline {r}}{{\overline {r}}'^{2}}}\right)\sin({\overline {p}}-{\overline {p}}'\ )\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\Bigl .}+2\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\ \right]_{2}\sin 2({\overline {p}}-{\overline {p}}')+\ldots {\Bigr ]}\\=&2\mathrm {T} ''{\overline {r}}\left[\left(\left[{\overline {r}},{\overline {r}}''\right]_{1}-{\frac {\overline {r}}{{\overline {r}}''^{2}}}\right)\sin({\overline {p}}-{\overline {p}}'')\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\Bigl .}+2\left[{\overline {r}},{\overline {r}}''\right]_{2}\sin 2({\overline {p}}-{\overline {p}}'')+\ldots {\Bigr ]}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\mathrm {Y} =&{\overline {r}}^{2}{\frac {d\Omega }{d\,{\overline {r}}}}\\=&-\mathrm {T} '{\overline {r}}^{2}\left[{\frac {d\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\ \right]}{d\,{\overline {r}}}}+\left({\frac {d\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\ \right]_{1}}{d\,{\overline {r}}}}-{\frac {1}{{\overline {r}}'^{2}}}\right)\cos({\overline {p}}-{\overline {p}}'\ )\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\Bigl .}+{\frac {d\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\ \right]_{2}}{d\,{\overline {r}}}}\cos 2({\overline {p}}-{\overline {p}}')+\ldots {\Bigr ]}\\=&-\mathrm {T} ''{\overline {r}}^{2}\left[{\frac {d\left[{\overline {r}},{\overline {r}}''\right]}{d\,{\overline {r}}}}+\left({\frac {d\left[{\overline {r}},{\overline {r}}''\right]_{1}}{d\,{\overline {r}}}}-{\frac {1}{{\overline {r}}''^{2}}}\right)\cos({\overline {p}}-{\overline {p}}'')\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\Bigl .}+{\frac {d\left[{\overline {r}},{\overline {r}}''\right]_{2}}{d\,{\overline {r}}}}\cos 2({\overline {p}}-{\overline {p}}'')+\ldots {\Bigr ]}\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\end{aligned}}$

Si donc on fait successivement

$\mu =0,\ \ n',\ \ 2n',\ldots \ \ n'',\ \ 2n'',\ldots ,$

et qu’on prenne pour $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ les coefficients respectifs des sinus et cosinus dans les séries précédentes, on aura pour

$\int (X)d\,{\overline {p}}\quad {\text{et}}\quad \int (Y)d\,{\overline {p}},$