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De même, en dénotant par $\mathrm {X',Y'}$ ce que deviennent les expressions de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ lorsqu’on y change ${\overline {r}},{\overline {p}},x,y$ en ${\overline {r}}',{\overline {p}}',x',y',$ et vice versâ, et par $\mathrm {(X'),(Y')}$ la totalité des termes affectés de sinus et cosinus dans les valeurs de

$\mathrm {X} '\sin {\overline {p}}'-\mathrm {Y} '\cos {\overline {p}}',\quad \mathrm {X} '\cos {\overline {p}}'+\mathrm {Y} '\sin {\overline {p}}',$

on aura les équations

${\begin{aligned}&{\frac {dx'}{dt}}-{\Bigl (}(1,0)+(1,2)+\ldots {\Bigr )}y'+[1,0]y+[1,2]y''+\ldots ={\frac {(\mathrm {X} ')}{{\overline {r}}^{\frac {3}{2}}}},\\&{\frac {dy'}{dt}}+{\Bigl (}(1,0)+(1,2)+\ldots {\Bigr )}x'-[1,0]x+[1,2]x''-\ldots ={\frac {(\mathrm {Y} ')}{{\overline {r}}^{\frac {3}{2}}}},\\\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

13. Comme dans les premiers membres de ces équations les variations sont linéaires, et que les seconds membres peuvent être regardés comme des fonctions connues de la variable $t,$ l’intégration est toujours possible par les méthodes connues. Dans la Théorie précédente nous avons déjà donné les intégrales complètes pour le cas où les seconds membres seraient nuls ; et ces mêmes intégrales, en y faisant varier les constantes arbitraires, donneront celles des équations dont il s’agit par la méthode indiquée dans le n^o 27 de la même Théorie.

Désignons, en général, par ${\overline {x}},{\overline {y}},{\overline {x}}',{\overline {y}}',\ldots$ les expressions de $x,y,$$x',y',\ldots$ trouvées dans cette Théorie (51), et soient ${\overline {x}}+\xi ,{\overline {y}}+\psi ,$${\overline {x}}'+\xi ',{\overline {y}}'+\psi ',\ldots$ les valeurs de $x,y,x',y',\ldots$ dans les équations ci-dessus, en ayant égard à leurs seconds membres ; il est clair qu’en y substituant ces valeurs, les termes en ${\overline {x}},{\overline {y}},{\overline {x}}',{\overline {y}}'$ s’en iront d’eux-mêmes, et que les transformées ne seront autre chose que les mêmes équations, en y changeant $x,y,x',y',\ldots$ en $\xi ,\psi ,\xi ',\psi ',\ldots \,;$ et comme les valeurs de ${\overline {x}},{\overline {y}},{\overline {x}}',{\overline {y}}',\ldots$ contiennent déjà toutes les constantes arbitraires nécessaires pour l’intégration complète, il suffira que celles de $\xi ,\psi ,\xi ',\psi ',\ldots$ satisfassent aux équations d’une manière quelconque.

Or les quantités qui forment les seconds membres des équations dont il s’agit étant dues aux forces perturbatrices, on peut supposer que les