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12. Si maintenant on substitue dans ces expressions de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ la valeur de $\Omega$ en série (4 et 5), qu’ensuite on développe les différents produits des sinus et cosinus en sinus et cosinus simples, on aura des termes proportionnels à $\sin {\overline {p}}$ et $\cos {\overline {p}}.$ lesquels étant ensuite multipliés par $\sin {\overline {p}}$ et $\cos {\overline {p}},$ donneront, dans les valeurs de $dx$ et $dy,$ des termes sans sinus ni cosinus ; ce sont ceux que nous avons déterminés à part dans les n^os 43 et 49 de la Théorie citée, et auxquels nous avons eu uniquement égard dans les équations différentielles en $x$ et $y$ du n^o  50, parce que nous faisions alors abstraction des inégalités périodiques. Les autres termes de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ ne pourront donner dans $dx$ et $dy$ que des termes affectés de sinus ou cosinus d’angles composés de multiples de ${\overline {p}},{\overline {p}}',{\overline {p}}'',\ldots \,;$ et il faudra maintenant tenir compte aussi de ces termes, pour pouvoir déterminer la partie périodique des valeurs de $x$ et $y.$

Désignons, pour abréger, par $(\mathrm {X} )$ la totalité des termes affectés de sinus et cosinus dans la valeur de

$\mathrm {X} \sin {\overline {p}}-\mathrm {Y} \cos {\overline {p}},$

et par $(\mathrm {Y} )$ la totalité des termes pareils dans la valeur de

$\mathrm {X} \cos {\overline {p}}+\mathrm {Y} \sin {\overline {p}}\,;$

il faudra donc ajouter respectivement aux valeurs de ${\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}$ des équations différentielles citées les quantités $(\mathrm {X} ){\frac {d\,{\overline {p}}}{dt}},(\mathrm {Y} ){\frac {d\,{\overline {p}}}{dt}}\,;$ de sorte que ces quantités formeront maintenant les seconds membres des deux premières équations différentielles dont il s’agit.

Ainsi, puisque (4)

$d\,{\overline {p}}={\frac {dt}{{\overline {r}}^{\frac {3}{2}}}},$

les équations complètes seront

${\begin{aligned}&{\frac {dx}{dt}}-\left((0,1)+(0,2)+\ldots \right)y+[0,1]y'+[0,2]y''+\ldots ={\frac {(\mathrm {X} )}{{\overline {r}}^{\frac {3}{2}}}},\\&{\frac {dy}{dt}}+\left((0,1)+(0,2)+\ldots \right)x-[0,1]x'-[0,2]x''+\ldots ={\frac {(\mathrm {Y} )}{{\overline {r}}^{\frac {3}{2}}}}.\end{aligned}}$