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Par le moyen de ces substitutions, les expressions de $\rho$ et de $\varpi$ du n^o 8 deviendront

${\begin{aligned}\rho =&-\mathrm {T} '{\frac {4{\overline {r}}^{2}}{3}}{\frac {d\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]}{d\,{\overline {r}}}}-\mathrm {T} ''{\frac {4{\overline {r}}^{2}}{3}}{\frac {d\left[{\overline {r}},{\overline {r}}''\right]}{d\,{\overline {r}}}}-\ldots \\&+2\mathrm {T} '{\frac {{\overline {r}}^{2}\ }{n'}}\left[\left(\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\ \right]_{1}-{\frac {\overline {r}}{{\overline {r}}'^{2}}}\right)\cos({\overline {p}}-{\overline {p}}'\ )\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\Bigl .}+\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\ \right]_{2}\cos 2({\overline {p}}-{\overline {p}}')+\ldots {\Bigr ]}\\&+2\mathrm {T} ''{\frac {{\overline {r}}^{2}}{n''}}\left[\left(\left[{\overline {r}},{\overline {r}}''\right]_{1}-{\frac {\overline {r}}{{\overline {r}}''^{2}}}\right)\cos({\overline {p}}-{\overline {p}}'')\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\Bigl .}+\left[{\overline {r}},{\overline {r}}''\right]_{2}\cos 2({\overline {p}}-{\overline {p}}'')+\ldots {\Bigr ]}\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\\\varpi =&\mathrm {T} '\ {\Bigl [}\left[\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\,\right]_{1}\right]\sin \left({\overline {p}}-{\overline {p}}'\ \right)+\left[\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\ \right]_{2}\right]\sin 2\left({\overline {p}}-{\overline {p}}'\right)+\ldots {\Bigr ]}\\+&\mathrm {T} ''{\Bigl [}\left[\left[{\overline {r}},{\overline {r}}''\right]_{1}\right]\sin \left({\overline {p}}-{\overline {p}}''\right)+\left[\left[{\overline {r}},{\overline {r}}''\right]_{2}\right]\sin 2\left({\overline {p}}-{\overline {p}}''\right)+\ldots {\Bigr ]}\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

en supposant, pour abréger,

${\begin{aligned}&\left[\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{1}\right]={\frac {\overline {r}}{{\overline {r}}'^{2}}}\left({\frac {3}{n'^{2}}}+{\frac {2}{n'}}\right)-{\frac {3{\overline {r}}}{n'^{2}}}\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{1}-{\frac {2{\overline {r}}^{2}}{n'}}{\frac {d\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{1}}{d\,{\overline {r}}}},\\&\left[\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{2}\right]=-{\frac {3{\overline {r}}}{2n'^{2}}}\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{2}-{\frac {2{\overline {r}}^{2}}{2n'}}{\frac {d\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{2}}{d\,{\overline {r}}}},\\&\left[\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{3}\right]=-{\frac {3{\overline {r}}}{3n'^{2}}}\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{3}-{\frac {2{\overline {r}}^{2}}{3n'}}{\frac {d\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{3}}{d\,{\overline {r}}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et ainsi des autres expressions semblables.

11. Après avoir vu comment on doit déterminer les variations périodiques de la distance moyenne et du mouvement moyen, passons à la recherche de celles des excentricités et des aphélies.

Celles-ci sont contenues dans les formules du n^o 41 de la Théorie citée, lesquelles donnent les variations des quantités $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ ou $x$ et $y\,;$ car en nommant $\lambda$ l’excentricité, $\varphi$ la longitude de l’aphélie sur le plan de projection et $\eta$ sa latitude, nous avons supposé

$x=\lambda \cos \eta \sin \varphi ,\quad \operatorname {y} =\lambda \cos \eta \cos \varphi .$

Or on a vu dans le n^o 42 qu’en négligeant les carrés des excentricités