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du corps est susceptible ; ce qui n’est pas un des moindres avantages de notre méthode.

21. Venons maintenant à l’autre partie de la valeur de $\mathrm {T} ,$ laquelle contient les quantités relatives au mouvement de rotation du corps autour de son centre de gravité, et qui est représentée par la formule

${\frac {\mathbf {S} \left(d\xi ^{2}+d\eta ^{2}+d\zeta ^{2}\right)dm}{2dt^{2}}}.$

On y substituera donc à la place de $d\xi ,d\eta ,d\zeta$ leurs valeurs tirées des expressions du n^o 16. Mais je remarque qu’on rendra les résultats beaucoup plus simples, si à la place de la quantité

$d\xi ^{2}+d\eta ^{2}+d\zeta ^{2}$

on prend celle-ci

$(\xi 'd\xi +\eta 'd\eta +\zeta 'd\zeta )^{2}+(\xi ''d\xi +\eta ''d\eta +\zeta ''d\zeta )^{2}+(\xi '''d\xi +\eta '''d\eta +\zeta '''d\zeta )^{2},$

qui lui est équivalente en vertu des équations de condition du n^o 17.

En effet, puisque

$d\xi =ad\xi '+bd\xi ''+cd\xi ''',\quad d\eta =ad\eta '+bd\eta ''+cd\eta ''',$

$d\zeta =ad\zeta '+bd\zeta ''+cd\zeta ''',$

si l’on fait, pour abréger,

${\begin{alignedat}{3}d\mathrm {P} =&\xi '''d\xi ''&+&\eta '''d\eta ''&+&\zeta '''d\zeta '',\\d\mathrm {Q} =&\xi 'd\xi '''&+&\eta 'd\eta '''&+&\zeta 'd\zeta ''',\\d\mathrm {R} =&\xi ''d\xi '&+&\eta ''d\eta '&+&\zeta ''d\zeta ',\end{alignedat}}$

et qu’on ait égard aux équations de condition du n^o 16 différentiées, on trouvera

${\begin{aligned}\xi '\ d\xi +\eta '\,\ d\eta +\zeta '\ \,d\zeta =&cd\mathrm {Q} -bd\mathrm {R} ,\\\xi ''\,d\xi +\eta ''\,d\eta +\zeta ''\ d\zeta =&ad\mathrm {R} -cd\mathrm {P} ,\\\xi '''d\xi +\eta '''d\eta +\zeta '''d\zeta =&b\,d\mathrm {P} -ad\mathrm {Q} .\end{aligned}}$

Ajoutant ensemble les carrés de ces trois quantités, on aura donc

$d\xi ^{2}+d\eta ^{2}+d\zeta ^{2}=(cd\mathrm {Q} -bd\mathrm {R} )^{2}+(ad\mathrm {R} -cd\mathrm {P} )^{2}+(bd\mathrm {P} -ad\mathrm {Q} )^{2}$

$=\left(a^{2}+b^{2}\right)d\mathrm {R} ^{2}+\left(a^{2}+c^{2}\right)d\mathrm {Q} ^{2}+\left(b^{2}+c^{2}\right)d\mathrm {P} ^{2}$

$-2bcd\mathrm {Q} d\mathrm {R} -2acd\mathrm {P} d\mathrm {R} -2abd\mathrm {P} d\mathrm {Q} .$