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Mais ${\frac {dt}{{\overline {r}}^{\frac {3}{2}}}}$ est la valeur de $dp$ qui aurait lieu dans l’ellipse dont le demi-grand axe serait ${\overline {r}},$ et que nous avons déjà désignée par $d\,{\overline {p}}$ ; donc, intégrant,

$p={\overline {p}}-{\frac {3}{2{\overline {r}}^{\frac {5}{2}}}}\int \rho dt={\overline {p}}+3{\overline {r}}\int d\,{\overline {p}}\int (d\Omega ).$

Donc, si l’on fait $p+\Sigma ={\overline {p}}+\varpi ,$ la quantité $\varpi$ exprimant la partie périodique de l’angle $p+\Sigma ,$ on aura

$\varpi =\Sigma +3{\overline {r}}\int d\,{\overline {p}}\int (d\Omega )\,;$

et il faudra que dans cette expression il n’entre aucun terme proportionnel à ${\overline {p}}$.

9. Il ne s’agit maintenant que d’évaluer la quantité $(d\Omega ).$ Or on a vu dans le n^o 41 de la Théorie citée que cette quantité est réductible à la forme

${\frac {d\Omega }{dr}}dr+{\frac {d\Omega }{dq}}dq+{\frac {d\Omega }{dz}}dz,$

$r$ étant ici le rayon vecteur de l’orbite ; donc, négligeant le terme ${\frac {d\Omega }{dz}}dz$ parce qu’il contiendrait les secondes puissances des inclinaisons des orbites, et faisant dans les autres les mêmes substitutions et réductions que dans le n^o 4 ci-dessus, on aura

${\begin{aligned}(d\Omega )=&{\frac {d\Omega }{d\,{\overline {p}}}}d\,{\overline {p}}+\left({\overline {r}}{\frac {d^{2}\Omega }{d\,{\overline {r}}d\,{\overline {p}}}}-2{\frac {d\Omega }{d\,{\overline {p}}}}\right)\left(x\sin {\overline {p}}+y\cos {\overline {p}}\right)d\,{\overline {p}}\\&+{\overline {r}}'{\frac {d^{2}\Omega }{d\,{\overline {r}}'d\,{\overline {p}}}}\left(x'\sin {\overline {p}}'+y'\cos {\overline {p}}'\right)d\,{\overline {p}}\\&+{\overline {r}}''{\frac {d^{2}\Omega }{d\,{\overline {r}}''d\,{\overline {p}}}}\left(x''\sin {\overline {p}}''+y''\cos {\overline {p}}''\right)d\,{\overline {p}}+\ldots \\&+\left(2{\frac {d^{2}\Omega }{d\,{\overline {p}}^{2}}}+{\overline {r}}'{\frac {d\Omega }{d{\overline {r}}}}\right)\left(x\cos {\overline {p}}-y\sin {\overline {p}}\right)d\,{\overline {p}}\\&+2{\frac {d^{2}\Omega }{d\,{\overline {p}}d\,{\overline {p}}'}}\left(x'\cos {\overline {p}}'-y'\sin {\overline {p}}'\right)d\,{\overline {p}}\\&+2{\frac {d^{2}\Omega }{d\,{\overline {p}}d\,{\overline {p}}''}}\left(x''\cos {\overline {p}}''-y''\sin {\overline {p}}''\right)d\,{\overline {p}}+\ldots .\end{aligned}}$