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mouvement circulatoire dans l’ellipse variable, mais nullement le demigrand axe ou la distance moyenne. Comme cet objet est de la plus grande importance dans la Théorie des Planètes, je me propose de le discuter à fond dans une autre occasion^[1].

6. Si dans l’expression de $d\Sigma$ du n^o 4 on néglige les termes où se trouvent les quantités $x,y,x',y',\ldots$ dues aux excentricités des orbites, elle se réduit à celle-ci

{\begin{aligned}d\Sigma =&2{\overline {r}}^{2}{\frac {d\Omega }{d{\overline {r}}}}d{\overline {p}}\\=&-2{\overline {r}}^{2}\mathrm {T} '\ \left[{\frac {d[{\overline {r}},{\overline {r}}'\ ]}{d{\overline {r}}}}+\left({\frac {d[{\overline {r}},{\overline {r}}'\ ]_{1}}{d{\overline {r}}}}-{\frac {1}{{\overline {r}}'^{2}\ }}\right)\cos({\overline {p}}-{\overline {p}}'\ )\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {d[{\overline {r}},{\overline {r}}'\ ]_{2}}{d{\overline {r}}}}\cos 2({\overline {p}}-{\overline {p}}'\ )+\ldots \right]d{\overline {p}}\\=&-2{\overline {r}}^{2}\mathrm {T} ''\ \left[{\frac {d[{\overline {r}},{\overline {r}}'']}{d{\overline {r}}}}+\left({\frac {d[{\overline {r}},{\overline {r}}'']_{1}}{d{\overline {r}}}}-{\frac {1}{{\overline {r}}''^{2}}}\right)\cos({\overline {p}}-{\overline {p}}'')\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {d[{\overline {r}},{\overline {r}}'']_{2}}{d{\overline {r}}}}\cos 2({\overline {p}}-{\overline {p}}'')+\ldots \right]d{\overline {p}}\\\end{aligned}}

Soient

d{\overline {p}}-d{\overline {p}}'=n'd{\overline {p}},\quad d{\overline {p}}-d{\overline {p}}''=n''d{\overline {p}},\ldots ,

les coefficients $n',n'',\ldots$ étant constants et donnés par les rapports connus des mouvements moyens des Planètes ${\biggl [}{\biggr .}$ puisque $d{\overline {p}}={\frac {dt}{{\overline {r}}^{\frac {3}{2}}}},d{\overline {p}}'={\frac {dt}{{\overline {r}}'^{\frac {3}{2}}}},$ $\ldots ,$ $\ n'$ sera ${\biggl .}=1-\left({\frac {\overline {r}}{{\overline {r}}'}}\right)^{\frac {3}{2}},\ n''=1-\left({\frac {\overline {r}}{{\overline {r}}''}}\right)^{\frac {3}{2}},\ldots {\biggr ]}\,;$ on aura, en substituant pour $d{\overline {p}},{\frac {d{\overline {p}}-d{\overline {p}}'}{n'}},$ ou ${\frac {d{\overline {p}}-d{\overline {p}}''}{n''}},$ ou $\ldots ,$ une équation intégrable, et dont l’intégrale sera

{\begin{aligned}\Sigma =&-2{\overline {r}}^{2}\left(\mathrm {T} '{\frac {d[{\overline {r}},{\overline {r}}']_{1}}{d{\overline {r}}}}+\mathrm {T} ''{\frac {d[{\overline {r}},{\overline {r}}'']_{1}}{d{\overline {r}}}}+\ldots \right){\overline {p}}\\&-{\frac {2{\overline {r}}^{2}\mathrm {T} '\ }{n'}}\left[\left({\frac {d[{\overline {r}},{\overline {r}}'\ ]_{1}}{d{\overline {r}}}}-{\frac {1}{{\overline {r}}'^{2}}}\right)\sin({\overline {p}}-{\overline {p}}'\ )\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {1}{2}}{\frac {d[{\overline {r}},{\overline {r}}'\ ]_{2}}{d{\overline {r}}}}\sin 2({\overline {p}}-{\overline {p}}'\ )+\ldots \right]\\&-{\frac {2{\overline {r}}^{2}\mathrm {T} ''\ }{n''}}\left[\left({\frac {d[{\overline {r}},{\overline {r}}''\ ]_{1}}{d{\overline {r}}}}-{\frac {1}{{\overline {r}}''^{2}}}\right)\sin({\overline {p}}-{\overline {p}}''\ )\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {1}{2}}{\frac {d[{\overline {r}},{\overline {r}}''\ ]_{2}}{d{\overline {r}}}}\sin 2({\overline {p}}-{\overline {p}}''\ )+\ldots \right]\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}

↑ Voir le Mémoire Sur les variations séculaires des mouvements moyens des Planètes, page 381 de ce volume. $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ (Note de l’Éditeur.)

[1] Voir le Mémoire Sur les variations séculaires des mouvements moyens des Planètes, page 381 de ce volume. $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ (Note de l’Éditeur.)

[1]