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5. Mais, pour avoir une formule intégrable, il est nécessaire de réduire en série les radicaux qui entrent dans l’expression de $\Omega \,;$ on supposera donc

$\left[{\overline {r}}^{2}-2{\overline {r}}{\overline {r}}'\cos({\overline {p}}-{\overline {p}}')+{\overline {r}}'^{2}\right]^{-{\frac {1}{2}}}=\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]+\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{1}\cos \left({\overline {p}}-{\overline {p}}'\right)$

$+\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{2}\cos 2\left({\overline {p}}-{\overline {p}}'\right)+\left[{\overline {r}},{\overline {r}}'\right]_{3}\cos 3\left({\overline {p}}-{\overline {p}}'\right)+\ldots ,$

et ainsi des autres radicaux semblables ; alors l’expression de $d\Sigma$ se trouvera composée de termes tous intégrables, dont les uns, simplement proportionnels à $d{\overline {p}},$ seront

$-2\mathrm {T} '{\overline {r}}^{2}{\frac {d[{\overline {r}},{\overline {r}}']}{d{\overline {r}}'}}d{\overline {p}}-2\mathrm {T} ''{\overline {r}}^{2}{\frac {d[{\overline {r}},{\overline {r}}'']}{d{\overline {r}}''}}d{\overline {p}}-\ldots ,$

et dont les autres contiendront tous des sinus ou cosinus des angles ${\overline {p}},{\overline {p}}',$${\overline {p}}'',\ldots ,$ et donneront par conséquent la partié périodique de la valeur de $\Sigma .$

Quant aux premiers termes, nous verrons ci-après comment, étant joints à un terme semblable provenant de la valeur de $p,$ il en résulte le terme unique ${\overline {p}}$ que nous avons supposé représenter la partie uniforme du mouvement moyen $p+\Sigma$ dans l’ellipse variable.

Ainsi, tant qu’on n’a égard qu’aux premières dimensions des excentricités et des inclinaisons, auxquelles les quantités $\mathrm {M,N,{\frac {P}{R}},{\frac {Q}{R}}} ,$ ou $x,y,$$s,u$ sont proportionnelles, on ne trouve point de variation séculaire dans le mouvement moyen des Planètes ; mais, si l’on poussait l’approximation jusqu’aux, secondes dimensions de ces quantités dans l’expression de $d\Sigma ,$ on trouverait alors des termes proportionnels à $d{\overline {p}}$ et indépendants des sinus et cosinus de ${\overline {p}},{\overline {p}}',\ldots ,$ lesquels auraient pour coefficients les quantités

$x^{2}+y^{2},\ \ x'^{2}+y'^{2},\ \ xx'+yy',\ldots ,\ \ s^{2}+u^{2},\ \ s'^{2}+u'^{2},\ \ ss'+uu',\ldots \,;$

ces termes donneraient donc, par la substitution des valeurs de $x,y,x',y',$$\ldots ,$$s,u,s',u',\ldots$ relatives à chaque Planète, des variations séculaires dans leur mouvement moyen, variations qui n’affecteraient que le