Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 5.djvu/353

ainsi, après les substitutions, et en n’employant pour $d\mathrm {N}$ et $d\mathrm {M}$ que les valeurs du n^o 42 du même Ouvrage,

${\begin{aligned}d\Sigma =&2r^{2}{\frac {d\Omega }{dr}}dq+2{\frac {d\Omega }{dq}}dr+3r{\frac {d\Omega }{dq}}(\mathrm {N} \sin q-\mathrm {M} \cos q)dq\\&+{\frac {3r^{2}}{2}}{\frac {d\Omega }{dr}}(\mathrm {M} \sin q+\mathrm {N} \cos q)+{\frac {3}{2}}{\frac {d\Omega }{dq}}(\mathrm {M} \sin q+\mathrm {N} \cos q)dr\,;\end{aligned}}$

et il n’y aura plus qu’à faire les autres substitutions de ce dernier numéro, en se souvenant d’y changer $m,n$ en $\mathrm {M,N} ,$ et $p$ en $p+\Sigma .$

4. Dénotons par ${\overline {p}}$ la valeur moyenne de l’angle $p+\Sigma ,$ c’est-à-dire la partie indépendante des sinus et cosinus, et proportionnelle au temps ; et par ${\overline {r}}$ le demi-grand axe de l’ellipse invariable dans laquelle le mouvement moyen serait ${\overline {p}},$ en sorte que l’on ait $dp={\frac {dt}{{\overline {r}}^{\frac {3}{2}}}}\,;$ il est clair que, dans les termes dus aux forces perturbatrices, on pourra mettre partout ${\overline {p}}$ au lieu de $p+\Sigma ,$ et ${\overline {r}}$ au lieu de ${\frac {1}{\Delta }}$ demi-grand axe de l’ellipse variable (37), du moins en tant qu’on néglige les carrés de ces forces, comme on l’a toujours pratiqué dans la Théorie des perturbations des corps célestes.

Ainsi les substitutions dont il s’agit se réduiront à faire

${\begin{alignedat}{2}q=&{\overline {p}}+2\mathrm {M} \cos {\overline {p}}-2\mathrm {N} \sin {\overline {p}},\qquad &dq=&\left(1-2\mathrm {M} \sin {\overline {p}}-2\mathrm {N} \cos {\overline {p}}\right)d{\overline {p}},\\r=&{\overline {r}}\left(1+\mathrm {M} \sin {\overline {p}}+\mathrm {N} \cos {\overline {p}}\right),&dr=&{\overline {r}}\left(\mathrm {M} \cos {\overline {p}}-\mathrm {N} \sin {\overline {p}}\right)d{\overline {p}},\end{alignedat}}$

${\begin{aligned}{\frac {d\Omega }{dr}}=&{\frac {d\Omega }{d{\overline {r}}}}+{\overline {r}}{\frac {d^{2}\Omega }{d{\overline {r}}^{2}}}\left(\mathrm {M} \sin {\overline {p}}+\mathrm {N} \cos {\overline {p}}\right)\\&+{\overline {r}}'{\frac {d^{2}\Omega }{d{\overline {r}}d{\overline {r}}'}}\left(\mathrm {M} '\sin {\overline {p}}'+\mathrm {N} '\cos {\overline {p}}'\right)+\ldots \\&+2{\frac {d^{2}\Omega }{d{\overline {r}}d{\overline {p}}}}\left(\mathrm {M} \cos {\overline {p}}-\mathrm {N} \sin {\overline {p}}\right)\\&+2{\frac {d^{2}\Omega }{d{\overline {r}}d{\overline {p}}'}}\left(\mathrm {M} '\cos {\overline {p}}'-\mathrm {N} '\sin {\overline {p}}'\right)+\ldots ,\end{aligned}}$