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jusqu’aux troisièmes dimensions de$\mathrm {M,N,P,Q}$ et faisant $g=1$ conformément au n^o  37 du même Ouvrage,

${\begin{aligned}\beta =&2\mathrm {M-{\frac {NPQ}{2R^{2}}}+{\frac {M\left(3Q^{2}+P^{2}\right)}{4R^{2}}}} ,\\\gamma =&2\mathrm {N-{\frac {MQP}{2R^{2}}}+{\frac {N\left(3P^{2}+Q^{2}\right)}{4R^{2}}}} ,\\\delta =&3\mathrm {MN+{\frac {PQ}{2R^{2}}}} ,\\\varepsilon =&\mathrm {{\frac {3\left(N^{2}-M^{2}\right)}{2}}+{\frac {Q^{2}-P^{2}}{2R^{2}}}} ,\\\zeta =&\mathrm {3MN^{2}-M^{3}+{\frac {3M\left(Q^{2}-P^{2}\right)}{4R^{2}}}+{\frac {3NPQ}{2R^{2}}}} ,\\\eta =&\mathrm {N^{3}-3NM^{2}+{\frac {3N\left(Q^{2}-P^{2}\right)}{4R^{2}}}-{\frac {3MPQ}{2R^{2}}}} .\end{aligned}}$

Après avoir différentié ces valeurs, on y substituera pour $d\mathrm {M} ,d\mathrm {N} ,d\mathrm {P} ,$$d\mathrm {Q} ,d\mathrm {R}$ celles que nous avons données dans les n^os 17 et 41 de l’Ouvrage cité ; on aura ainsi les expressions de $d\beta ,d\gamma ,d\delta ,\ldots ,$ qu’il faudra substituer dans celle de $d\Sigma$ du numéro précédent.

3. Si dans cette expression de $d\Sigma$ on veut se contenter d’avoir égard aux premières dimensions des quantités $\mathrm {M,N,P,Q} ,$ ainsi que nous l’avons fait dans les formules des variations des éléments de l’orbite, il suffira alors d’avoir égard aux secondes dimensions de ces quantités dans les valeurs de $\beta ,\gamma ,\ldots ,$ ce qui les réduira à celles-ci

$\beta =2\mathrm {M} ,\quad \gamma =2\mathrm {N} ,\quad \delta =\mathrm {3MN+{\frac {PQ}{R^{2}}}} ,$

$\varepsilon =\mathrm {{\frac {3\left(N^{2}-M^{2}\right)}{2}}+{\frac {Q^{2}-P^{2}}{2R^{2}}}} ,\quad \zeta =0,\ldots \,;$

et, comme les valeurs de $d\mathrm {P}$ et $d\mathrm {Q}$ contiennent déjà les premières dimensions de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ (ainsi qu’on le voit par les formules du n^o  39), il est clair qu’on pourra négliger les différences des termes $\mathrm {\frac {PQ}{R^{2}}}$ et $\mathrm {\frac {Q^{2}-P^{2}}{2R^{2}}} .$ On aura