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On fera donc ces mêmes changements dans les autres formules dépendantes de celle-ci ; et par conséquent les quantités $m$ et $n$ des n^os 38 et suivants se réduiront d’abord à $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N} ,$ réduction que nous avons faite aussi dans le n^o  49, mais d’après la considération de la petitesse des forces perturbatrices dont nous avons négligé les carrés. Par cette considération, on pourra donc aussi négliger dans les formules des variations des éléments la quantité, ou du moins la partie périodique de cette quantité, l’autre partie proportionnelle à $p$ se confondant avec le mouvement moyen ; de sorte que les équations différentielles des n^os 40 et 50 demeureront les mêmes ; et toute la Théorie des variations séculaires des éléments des orbites planétaires subsistera en son entier.

À l’égard de la quantité $\Sigma ,$ il est clair qu’elle représentera la variation du mouvement moyen due aux forces perturbatrices, variation indépendante du grand axe de l’ellipse, et qu’on pourra rapporter à l’époque du moyen mouvement, laquelle, dans les orbites invariables, contient la sixième constante arbitraire des intégrales, et par conséquent le sixième élément du mouvement elliptique.

2. Pour avoir donc la formule de cette variation, il faut d’abord connaître les valeurs des coefficients, $\beta ,\gamma ,\delta ,\ldots$ en $\mathrm {M,N,P,Q,R} \,;$ or, par le n^o  30 de l’Ouvrage cité, on voit que la série

$\alpha \left(1+\beta \sin q+\gamma \cos q+\delta \sin 2q+\varepsilon \cos 2q+\zeta \sin 3q+\eta \cos 3q+\ldots \right)$

résulte du développement de la fraction

$\left[g{\sqrt {\mathrm {R} ^{2}+(\mathrm {Q} \sin q-\mathrm {P} \cos q)^{2}}}+\mathrm {C} \sin q-\mathrm {B} \cos q\right]^{-2},$

dans laquelle (n^os 8, 29)

$\mathrm {B=RN-PL,\quad C=-RM-QL}$

et

$\mathrm {L={\frac {MQ-NP}{R}}} ,$

l’on trouve par les méthodes ordinaires, en poussant l’approximation