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Cette dernière manière de représenter l’orbite du corps est surtout utile lorsqu’elle est peu différente d’un cercle et en même temps peu inclinée au plan des coordonnées $x',y',$ comme cela a lieu à l’égard de toutes les Planètes par rapport à l’écliptique ; car alors $\rho$ est une quantité à peu près constante, $\sigma$ est à peu près proportionnel au temps, et $z'$ est toujours une quantité très-petite, ce qui fournit des moyens d’approximation pour la détermination du mouvement du corps.

Si l’on veut éviter les angles, on considérera qu’en représentant, pour plus de simplicité, le temps $t$ par l’angle du mouvement moyen, c’est-à-dire par la valeur moyenne de $\sigma ,$ la différence $\sigma -t$ sera toujours un angle fort petit dans l’hypothèse précédente ; d’où il s’ensuit que $\rho \sin(\sigma -t)$ sera une quantité fort petite et $\rho \cos(\sigma -t)$ une quantité peu variable.

Faisons donc

$\rho \sin(\sigma -t)=\mathrm {Y} ,\quad \rho \cos(\sigma -t)=\mathrm {X} ,$

on aura

$\rho \sin \sigma =\mathrm {Y} \cos t+\mathrm {X} \sin t=y',\quad \rho \cos \sigma =\mathrm {X} \cos t-\mathrm {Y} \sin t=x'\,;$

et de là on tirera

$dx'^{2}+dy'^{2}=(d\mathrm {X-Y} dt)^{2}+(d\mathrm {Y+X} dt)^{2}.$

Il est aisé de voir que les variables $\mathrm {X,Y}$ introduites à la place de $x',y'$ ne sont autre chose que de nouvelles coordonnées rectangles ayant la même origine que celles-ci, et couchées sur le même plan, mais placées de manière que l’axe des $\mathrm {X}$ soit mobile et passe toujours par le lieu moyen du corps, et que l’axe des $\mathrm {Y}$ soit toujours perpendiculaire à celui-là. C’est ainsi que M. Euler a représenté le mouvement de la Lune dans sa nouvelle Théorie de cette Planète ; et notre méthode donnera immédiatement les mêmes équations que M. Euler n’a trouvées qu’à l’aide de plusieurs substitutions et réductions.

En employant d’autres substitutions on trouvera des formules différentes, et l’on sera assuré d’avoir toujours par cette méthode les équations les plus simples dont chaque manière de représenter le mouvement