Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 5.djvu/330

Donc, puisque les trois racines ou valeurs de $u$ sont représentées par

$2r\cos {\frac {\varphi }{3}},\quad -2r\cos \left(60^{\circ }+{\frac {\varphi }{3}}\right),\quad -2r\cos \left(60^{\circ }-{\frac {\varphi }{3}}\right),$

elles deviendront

$1{,}8476,\quad -0{,}8503,\quad -0{,}9973\,;$

et de là on aura ces trois valeurs de $z$

$z'=163{,}199,\quad z''=8{,}581,\quad z'''=0{,}1546.$

Or $\mathrm {Q}$ étant négatif, il faudra prendre les racines carrées de ces valeurs positivement, en sorte qu’on aura

${\sqrt {z'}}=12{,}775,\quad {\sqrt {z''}}=2{,}929,\quad {\sqrt {z'''}}=0{,}393\,;$

faisant ces substitutions dans les expressions générales des racines ou valeurs de $y$ (61), il viendra enfin celles-ci

$8{,}048,\quad 4{,}726,\quad -5{,}119,\quad -7{,}655,$

qui ne sont, à proprement parler, exactes qu’à la troisième décimale près.

Mais il est facile par leur moyen de pousser l’approximation aussi loin qu’on veut, en opérant directement sur l’équation

$y^{4}+\mathrm {P} y^{2}+\mathrm {Q} y+\mathrm {R} =0,$

selon les méthodes connues. J’ai trouvé ainsi les valeurs suivantes exactes jusqu’à la quatrième décimale inclusivement

$y=8{,}0447,\quad 4{,}7219,\quad -5{,}1132,\quad -7{,}6534\,;$

et de là, en ajoutant $12{,}7933,$ j’ai eu ces valeurs ou racines de $x$

$x=20{,}838o,\quad 17{,}5152,\quad 7{,}6801,\quad 5{,}1399.$

En prenant ces valeurs négativement, on aura donc celles de la constante $c,$ laquelle multiplie la variable $t$ sous les signes de sinus eat co-