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On aura d’abord

$dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=$

$dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}+2\left(dx'd\xi +dy'd\eta +dz'd\zeta \right)+d\xi ^{2}+d\eta ^{2}+d\zeta ^{2}\,;$

multipliant par $dm$ et intégrant par rapport à la caractéristique $\mathbf {S} ,$ laquelle ne regarde que la variabilité des coordonnées $a,b,c$ contenues dans les valeurs de $\xi ,\eta ,\zeta ,$ puisque ces coordonnées sont les seules quantités qui varient d’un point du corps à l’autre, on aura

$\mathrm {T} ={\frac {dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}}{2dt}}\mathbf {S} dm+{\frac {dx'\mathbf {S} d\xi dm+dy'\mathbf {S} d\eta dm+dz'\mathbf {S} d\zeta dm}{dt^{2}}}$

$+{\frac {\mathbf {S} (d\xi ^{2}+d\eta ^{2}+d\zeta ^{2})dm}{2dt^{2}}},$

et il ne restera plus qu’à substituer les valeurs de $d\xi ,d\eta ,d\zeta .$

Or, $\xi$ étant égal à $a\xi '+b\xi ''+c\xi ''',$ on aura, en regardant $a,b,c$ comme constantes dans la différentiation de $\xi ,$ et ensuite comme seules variables dans l’intégration marquée par $\mathbf {S} ,$ on aura, dis-je,

$\mathbf {S} d\xi dm=d\xi '\mathbf {S} adm+d\xi ''\mathbf {S} bdm+d\xi '''\mathbf {S} cdm,$

et l’on aura de même les valeurs de $\mathbf {S} d\eta dm,\ \mathbf {S} d\zeta dm$ en changeant dans la précédente la lettre $\xi$ en $\eta$ ou $\zeta .$

19. Mais je remarque que, si l’on suppose (ce qui est permis et même très-naturel) que le point que nous avons pris pour le centre du corps (14) en soit le véritable centre de gravité, les valeurs des intégrales

$\mathbf {S} adm,\quad \mathbf {S} bdm,\quad \mathbf {S} cdm,$

qui expriment les sommes des moments de chaque particule $dm$ du corps par rapport à trois axes passant par son centre, seront nulles par les propriétés connues du centre de gravité. De sorte qu’on aura dans cette hypothèse

$\mathbf {S} d\xi dm=0,\quad \mathbf {S} d\eta dm=0,\quad \mathbf {S} d\zeta dm=0,$

ce qui simplifie beaucoup la valeur de $\mathrm {T} ,$ et la réduit à

$\mathrm {T} ={\frac {dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}}{2dt^{2}}}\mathbf {S} dm+{\frac {\mathbf {S} \left(d\xi ^{2}+d\eta ^{2}+d\zeta ^{2}\right)dm}{dt^{2}}}.$

Cette expression de $\mathrm {T}$ est, comme on voit, composée de deux parties,