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(c)$\qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}-&\left[c+(2)\right]\mathrm {C} ''+(2,3)\mathrm {C} '''+(2,4)\mathrm {C} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+(2,5)\mathrm {C} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=0,\\&(3,2)\mathrm {C} ''-\left[c+(3)\right]\mathrm {C} '''+(3,4)\mathrm {C} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+(3,5)\mathrm {C} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=0,\\&(4,2)\mathrm {C} ''+(4,3)\mathrm {C} '''-\left[c+(4)\right]\mathrm {C} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+(4,5)\mathrm {C} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=0,\\&(5,2)\mathrm {C} ''+(5,3)\mathrm {C} '''+(5,4)\mathrm {C} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-\left[c+(5)\right]\mathrm {C} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=0\,;\end{aligned}}\right.$

68. On voit d’abord, par rapport aux équations (a), que, puisque les coefficients (2), (3), sont égaux chacun à la somme de tous les autres coefficients de la même équation, on satisfera à ces équations en faisant tous les coefficients égaux. De sorte qu’on aura $\mathrm {A''=A,\ A'''=A} ,\ldots .$ Donc (53)

$\mathrm {A''=A'''=A^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=A^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}} =0{,}02905$

$\log 8,4631770.$

Quant aux équations (b), il faudra commencer par y substituer les valeurs de $b$ et de $\mathrm {B,B'} ,$ trouvées dans le même numéro, valeurs qui donnent

${\begin{alignedat}{2}(2,0)\mathrm {B} +(2,1)\mathrm {B} '=&-0{,}085208,\qquad &b+(2)=&-\ \ 8{,}0393,\\(3,0)\mathrm {B} +(3,1)\mathrm {B} '=&-0{,}040727,&b+(3)=&-10{,}2989,\\(4,0)\mathrm {B} +(4,1)\mathrm {B} '=&-0{,}024139,&b+(4)=&-13{,}9757,\\(5,0)\mathrm {B} +(5,1)\mathrm {B} '=&-0{,}009182,&b+(5)=&-18{,}8153\,;\end{alignedat}}$

et, résolvant ensuite ces équations à la manière ordinaire, on trouvera

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {B} ''\ =&0{,}00981&\mathrm {B} '''=&0{,}00363,\\&7{,}9916247,\qquad &&7{,}5597870,\\\mathrm {B} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&-0{,}00012&\mathrm {B} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ =&0{,}00033\\&\quad \ 6{,}0920185,&&6{,}5142785.\end{alignedat}}$

69. Les équations (c) donneront les rapports entre les quatre constantes $\mathrm {C'',C''',C^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},C^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}} \,;$ et, éliminant ces rapports, on aura une équation