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noncer décisivement que la constitution du système solaire est inaltérable par le simple effet de l’attraction mutuelle des six Planètes principales.

Inclinaisons et nœuds.

67. Venons enfin aux équations différentielles du second système (58), lesquelles étant, comme on voit, analogues à celles du premier, peuvent être traitées d’une manière semblable. Ainsi, puisque les variables $s,u$ $s',u'$ sont déjà connues (53), et contiennent les sinus et cosinus des angles $\alpha$ et $bt+\beta ,$ nous supposerons d’abord

{\begin{alignedat}{3}s''\ &=\mathrm {A} ''\ \sin \alpha &+&\mathrm {B} ''\ \sin(bt+\beta )&+&\mathrm {C} ''\ \sin(ct+\gamma )\\u''\ &=\mathrm {A} ''\ \cos \alpha &+&\mathrm {B} ''\ \cos(bt+\beta )&+&\mathrm {C} ''\ \cos(ct+\gamma )\\s'''&=\mathrm {A} '''\sin \alpha &+&\mathrm {B} '''\sin(bt+\beta )&+&\mathrm {C} '''\sin(ct+\gamma )\\u'''&=\mathrm {A} '''\cos \alpha &+&\mathrm {B} '''\cos(bt+\beta )&+&\mathrm {C} '''\cos(ct+\gamma )\\s^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&=\mathrm {A} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\sin \alpha &+&\mathrm {B} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\sin(bt+\beta )&+&\mathrm {C} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\sin(ct+\gamma )\\u^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&=\mathrm {A} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\cos \alpha &+&\mathrm {B} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\cos(bt+\beta )&+&\mathrm {C} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\cos(ct+\gamma )\\s^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ &=\mathrm {A} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ \sin \alpha &+&\mathrm {B} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ \sin(bt+\beta )&+&\mathrm {C} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ \sin(ct+\gamma )\\u^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ &=\mathrm {A} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ \cos \alpha &+&\mathrm {B} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ \cos(bt+\beta )&+&\mathrm {C} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ \cos(ct+\gamma )\\\end{alignedat}}

et nous aurons, après les substitutions, ces trois systèmes d’équations de condition

(a)

\left\{{\begin{aligned}&(2,0)\mathrm {A} +(2,1)\mathrm {A} -(2)\mathrm {A} ''+(2,3)\mathrm {A} '''+(2,4)\mathrm {A} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+(2,5)\mathrm {A} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=0,\\&(3,0)\mathrm {A} +(3,1)\mathrm {A} +(3,2)\mathrm {A} ''-(3)\mathrm {A} '''+(3,4)\mathrm {A} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+(3,5)\mathrm {A} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=0,\\&(4,0)\mathrm {A} +(4,1)\mathrm {A} +(4,2)\mathrm {A} ''+(4,3)\mathrm {A} '''-(4)\mathrm {A} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+(4,5)\mathrm {A} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=0,\\&(5,0)\mathrm {A} +(5,1)\mathrm {A} +(5,2)\mathrm {A} ''+(5,3)\mathrm {A} '''+(5,4)\mathrm {A} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-(5)\mathrm {A} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=0\,;\end{aligned}}\right.

(b)

\left\{{\begin{aligned}&(2,0)\mathrm {B} +(2,1)\mathrm {B} -\left[b+(2)\right]\mathrm {B} ''+(2,3)\mathrm {B} '''+(2,4)\mathrm {B} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+(2,5)\mathrm {B} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=0,\\&(3,0)\mathrm {B} +(3,1)\mathrm {B} +(3,2)\mathrm {B} ''-\left[b+(3)\right]\mathrm {B} '''+(3,4)\mathrm {B} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+(3,5)\mathrm {B} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=0,\\&(4,0)\mathrm {B} +(4,1)\mathrm {B} +(4,2)\mathrm {B} ''+(4,3)\mathrm {B} '''-\left[b+(4)\right]\mathrm {B} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+(4,5)\mathrm {B} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=0,\\&(5,0)\mathrm {B} +(5,1)\mathrm {B} +(5,2)\mathrm {B} ''+(5,3)\mathrm {B} '''+(5,4)\mathrm {B} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-\left[b+(5)\right]\mathrm {B} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=0\,;\end{aligned}}\right.