Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 5.djvu/32

les termes semblables, on aura ces six équations de condition

${\begin{alignedat}{2}\xi '^{2}\ \ +\eta '^{2}\ +\zeta '^{2}\ \ =&1,\qquad &\xi '\,\xi ''\,+\eta '\,\eta ''\,+\zeta '\ \zeta ''\ =&0,\\\xi ''^{2}\ +\eta ''^{2}\,+\zeta ''^{2}\ =&1,&\xi '\,\xi '''+\eta '\,\eta '''+\zeta '\ \zeta '''=&0,\\\xi '''^{2}+\eta '''^{2}+\zeta '''^{2}=&1,&\xi ''\xi '''+\eta ''\eta '''+\zeta ''\zeta '''=&0,\end{alignedat}}$

entre les neuf variables $\xi ',\eta ',\zeta ',\xi '',\ldots \,;$ en sorte que ces variables se réduiront à trois indéterminées.

17. Si l’on voulait avoir les valeurs de $a,b,c$ en $\xi ,\eta ,\zeta ,$ il suffirait d’ajouter ensemble les trois équations ci-dessus

$\xi =a\xi '+\ldots ,\quad \eta =a\eta '+\ldots ,\quad \zeta =a\zeta '+\ldots ,$

après avoir multiplié respectivement ces équations par $\xi ',\eta ',\zeta ',\ldots ,$ par $\xi '',\eta '',\zeta '',\ldots ,$ et par $\xi ''',\eta ''',\zeta ''',\ldots \,;$ car en vertu de ces six équations de condition trouvées on aura sur-le-champ

${\begin{alignedat}{3}a=&\xi \xi '&+&\eta \eta '&+&\zeta \zeta ',\\b=&\xi \xi ''&+&\eta \eta ''&+&\zeta \zeta '',\\c=&\xi \xi '''&+&\eta \eta '''&+&\zeta \zeta '''.\end{alignedat}}$

Or, comme ces expressions de $a,b,c$ doivent satisfaire également à l’équation identique

$(a-a_{1})^{2}+(b-b_{1})^{2}+(c-c_{1})^{2}=(\xi -\xi _{1})^{2}+(\eta -\eta _{1})^{2}+(\zeta -\zeta _{1})^{2},$

en les substituant dans cette équation et comparant les termes homologues, on aura ces six autres équations de condition

${\begin{alignedat}{2}\xi '^{2}+\xi ''^{2}+\xi '''^{2}\,=&1,\qquad &\xi '\eta '+\xi ''\eta ''+\xi '''\eta '''=&0,\\\eta '^{2}+\eta ''^{2}+\eta '''^{2}=&1,\qquad &\xi '\zeta '+\xi ''\zeta ''+\xi '''\zeta '''=&0,\\\zeta '^{2}+\zeta ''^{2}+\zeta '''^{2}=&1,\qquad &\eta '\zeta '+\eta ''\zeta ''+\eta '''\zeta '''=&0\,;\end{alignedat}}$

lesquelles doivent être une suite nécessaire de celles qu’on a trouvées ci-dessus, puisqu’elles résultent de la même équation identique.

18. Substituons maintenant dans les expressions de $\mathrm {T}$ et $\mathrm {V}$ du n^o 13, pour $x,y,z,$ leurs valeurs $x'+\xi ,\ y'+\eta ,\ z'+\zeta$ (14).